Gruppo di galois

[francicko]

In una domanda sul forum di matematica stackexchange. com un utente dice:
dopo aver letto e consultato diversi libri sull'argomento, in cui si spiega solo la definizione concettuale e non si mensiona la spiegazione dietro di essa, e pone le seguenti domande:
Perché le permutazioni delle radici sono importanti e come influenzano la risolvibilita di un polinomio?
Qualcuno può spiegarmi brevemente l'intuizione dietro il perché Galois considero le permutazioni?
Sarei curioso di conoscere le risposte che, utenti di questo forum, ovviamente a conoscenza dell'argomento, daranno a questa domanda.

[frits]

Mi pare che una discussione sufficientemente divulgativa, ma con qualche referenza agli articoli originali, ci sia nell’Introduzione di Bosch, “Algebra: From the Viewpoint of Galois Theory”. Forse ricordo male e stava da qualche altra parte...

[francicko]

D'accordo, ma mi interessebbe conoscere qualche risposta diretta degli utenti di questo forum, che naturalmente abbiano un approfondita conoscenza dell' argomento in oggetto.

[gugo82]

Sarà un anno e mezzo che vai chiedendo di Galois. Nel frattempo, avresti potuto documentarti un po’ in autonomia, no?

[francicko]

Non è che non mi sia documentato, su internet si trova molto materiale, è che per qualche motivo, quando mi addentro nei dettagli, trovo delle difficoltà nell'apprendimento che mi appaiono insormontabili.
Molte volte per intuire il motivo per cui determinati risultati sono stati utilizzati è necessario studiare l' evoluzione storica del problema, come è iniziato, ed i seguiti nel corso del tempo.
Solitamente questo aspetto è raramente menzionato nei corsi o nei libri di testo, e la maggior parte delle volte viene presentato un risultato già pronto, lasciando lo studente spiazzato, qualcosa che richiede un genio inspiegabile per la piena comprensione.
Seguendone invece l'evoluzione storica, si fornisce quella sufficiente intuizione che si cela dietro la formulazione dell'argomento.
Da quel poco che ho potuto capire il merito di Galois, sulla scia di Lagrange, Abel, Ruffini, fu quello di avere individuato con precisione, la struttura dell' insieme delle permutazioni di radici, oggetto che oggi va sotto il nome di "Gruppo di Galois", che ne descrive la "Simmetria".
Se non sbaglio le permutazioni del gruppo di Galois lasciano invariate tutte le relazioni a valori in $Q$, che rappresenta il campo base, per questo chiamato anche gruppo degli automorfismi che lasciano fisso il campo $Q$.
Il fulcro principale della questione sono le relazioni simmetriche elementari, che hanno come valori i coefficienti del polinomio, inoltre Galois era a conoscenza di un risultato che afferma, che ogni relazione simmetrica può essere ottenuta a partire da quelle elementari.
Ora trovare una formula tramite operazioni razionali e/o estrazioni di radici, viene tradotto nell'associare un gruppo detto appunto di Galois, che abbia una particolare struttura, detta appunto gruppo risolubile, tutto ciò diventa possibile grazie alla fondamentale "corrispondenza di Galois', che associa ad ogni estensione del campo base con le radici, un sottogruppo del" Gruppo di Galois'".
Il teorema di Ruffini-Abel stabilisce che un polinomio generico di grado $>=5$ non può essere risolto con operazioni razionali e/o estrazioni di radici, ma non può escludere che esistano polinomi di grado $>=5$, come nel caso particolare $x^n-a$, che lo siano, proprio perché a differenza di Galois, non considera i legami tra le permutazioni delle radici, cioè la struttura. Mi sbaglio?

[hydro]

Non è che non mi sia documentato, su internet si trova molto materiale, è che per qualche motivo, quando mi addentro nei dettagli, trovo delle difficoltà nell'apprendimento che mi appaiono insormontabili.
Molte volte per intuire il motivo per cui determinati risultati sono stati utilizzati è necessario studiare l' evoluzione storica del problema, come è iniziato, ed i seguiti nel corso del tempo.
Solitamente questo aspetto è raramente menzionato nei corsi o nei libri di testo, e la maggior parte delle volte viene presentato un risultato già pronto, lasciando lo studente spiazzato, qualcosa che richiede un genio inspiegabile per la piena comprensione.

Niente di più falso. Questo è il pensiero tipico indotto dalla divulgazione scientifica, che per risultare comprensibile ai non tecnici deve da un lato semplificare i contenuti e dall'altro contestualizzarli per poter raccontare una storia piacevole da ascoltare/leggere. Ma imparare è un altro paio di maniche. La matematica vera è estremamente tecnica e soprattutto astratta: c'è un momento in cui devi lasciar perdere le storielle (in questo caso specifico) sulla simmetria delle soluzioni di un'equazione e la risolubilità per radicali ed affrontare il linguaggio matematico nella sua piena potenza. Devi sapere che cos'è un campo, che cos'è un anello ed un ideale bilatero, che cos'è un quoziente, un automorfismo e tante altre cose. E con "sapere" intendo che lo devi sapere come conosci le tabelline. Ma l'amara realtà è che non esiste alcun modo di indorare la pillola: si tratta di sedersi al tavolo e sbattere la testa, fare decine e decine di esercizi fino a che i concetti non vengono assorbiti e digeriti. Chiunque ti racconti altro sta mentendo, non c'è una singola persona al mondo che conosca bene la teoria di Galois (o qualsiasi altra teoria matematica) che non l'abbia imparata come ti sto dicendo. L'unica cosa che può variare è ovviamente il tempo: magari io ci metterò un anno, Tao ci metterà 12 ore per arrivare allo stesso livello di comprensione, ma fidati che faremo più o meno le stesse cose. Quindi ti rinnovo il consiglio che già ti diedi in qualche post passato: prendi un libro qualsiasi che contenga il materiale dei corsi di algebra 1 e 2 (e.g. Herstein Algebra, ma ce ne sono un milione), studialo tutto e fai tutti gli esercizi. Quando avrai finito vedrai che il linguaggio della teoria di Galois sarà molto più digeribile.

[gio73]

Questo è il pensiero tipico indotto dalla divulgazione scientifica, che per risultare comprensibile ai non tecnici deve da un lato semplificare i contenuti e dall'altro contestualizzarli per poter raccontare una storia piacevole da ascoltare/leggere. Ma imparare è un altro paio di maniche. La matematica vera è estremamente tecnica e soprattutto astratta: c'è un momento in cui devi lasciar perdere le storielle ....
.....Ma l'amara realtà è che non esiste alcun modo di indorare la pillola: si tratta di sedersi al tavolo e sbattere la testa, fare decine e decine di esercizi fino a che i concetti non vengono assorbiti e digeriti. Chiunque ti racconti altro sta mentendo, non c'è una singola persona al mondo che conosca bene la teoria di Galois (o qualsiasi altra teoria matematica) che non l'abbia imparata come ti sto dicendo. L'unica cosa che può variare è ovviamente il tempo

Molto bello
tanto vero

grazie