Definizione di limite più intuitiva

[impe]

Ciao!

Voglio proporvi un pensiero che ho avuto riguardo il concetto di limite.
Il limite della funzione per $x$ che tende ad $x_0$ esiste ed è uguale a $c$ se

$forall epsilon>0 exists delta>0 : if x in Dom(f) and 0<|x-x_0|<delta rArr |f(x)-c|<epsilon$

............

A me risulta particolarmente comodo pensarla così:

Il limite della funzione $f(x)$ per che $x$ che tende ad $x_0$ è uguale a $c$ se, comunque io mi discosti da $x_0$, comunque io "perturbi" infinitesimamente lo stato in cui mi trovo nella $x$, lo scostamento della $f(x)$ sarà sempre altrettanto infinitesimale e dipendente dallo scostamento della $x$, ovvero

$forall epsilon>0 exists delta>0 : if x in Dom(f) and 0<|Deltax|<delta rArr |Deltaf(x)|<epsilon$

Ho ridetto la stessa cosa fondamentalmente, però questo concetto di scostamento e perturbazione dello stato in cui mi trovo mi è sempre risultato di più facile comprensione. Cosa ne pensate? Magari per far avvicinare un/a 19enne al concetto potrebbe essere utile.

[gugo82]

Ma non c'è nessun $Delta f$ nella definizione di limite... A meno di non volere restringere il campo alle sole funzioni continue o ai punti di accumulazione $x_0$ che appartengono al dominio.

In più, c'è uno tra $x in "Dom"(f)$ e $Delta x$ che non ricompare da nessuna parte dopo, quindi è del tutto inutile...

[otta96]

Ma non c'è nessun $Delta f$ nella definizione di limite... A meno di non volere restringere il campo alle sole funzioni continue o ai punti di accumulazione $x_0$ che appartengono al dominio.

In realtà la cosa che ha detto a me sembra il criterio di Cauchy per la convergenza, però con qualche elemento un po' confuso, nel senso che vuole definire la convergenza a $c$, ma poi non fa nessun riferimento a $c$ nella definizione, mentre potrebbe andare bene per definire la convergenza a qualcosa (anche se sarebbe equivalente alla definizione comune solamente in sppazi metrici completi).
Poi se sia più o meno intuitivo penso dipanda anche dai gusti, tra l'altro se proprio vogliamo parlare di "infinitamente vicino" dovremmo prima sviluppare l'analisi non-standard per farlo.

[gabriella127]

Penso che impe con $Delta f$ intendesse, anche se la notazione è imprecisa, lo 'scostamento' di $f$ dal limite $c$.

@ Impe
Dal punto di vista intuitivo, sembra che stai introducendo un aspetto dinamico, una 'perturbazione, quindi qualcosa che varia, si muove.
Se così intuitivamente trovi più semplice pensare al limite, puoi farlo. Ovviamente, quando ci sta da essere rigorosi userai la definizione standard.

Io, dal punto di vista intuitivo, ho sempre pensato che dire che una funzione $f(x)$ ha limite $c$ per $x$ che tende a $x_0$, è come dire che, mano a mano che $x$ si avvicina a $x_0$, la $f(x)$ si avvicina a $c$.
Quindi, con connotazioni 'dinamiche'.
Così mi è sempre sembrato molto semplice e intuitivo il concetto, ma sono cose soggettive.
Certo, la definizione $epsilon-delta$ intuitivamente non è così immediata.

Comunque con questa visione 'dinamica' del concetto di limite sei in buona compagnia, perché il lato dinamico, di qualcosa che si muove, è nelle prime definizioni di limite, in primo luogo quella a suo tempo data da Cauchy nel suo Corse d'Analyse del 1821. Scrive Cauchy, definendo il concetto di limite:

"Quando i valori successivamente attribuiti a una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, in modo da finire per differire da esso quanto poco si voglia, quest'ultimo è chiamato il limite degli altri." (Course d'analyse, p. 4).

Come si vede (e qualunque cosa intenda Cauchy per variabile), c'è l'idea del 'movimento verso' . Ed è una idea molto intuitiva, mi pare.

Poi, più tardi, questa definizione dinamica è stata soppiantata dalla definizione 'statica' di Weierstrass, cioè quella con $epsilon-delta$ che ora si studia. Questo, credo, per ovviare alle vaghezze di termini come 'si avvicina indefinitamente' e per sbarazzarsi una volta per tutte degli infinitesimi (che poi anche Cauchy definirà) che tanto dibattito e tante rogne avevano creato.

Attualmente, come dice otta96, per riparlare di infinitesimi rigorosamente, bisognerebbe riferirsi all'Analisi non standard.
Ma intutivamente, si possono benissimo avere in mente.

[impe]

Chiaramente la definizione di limite e il suo insegnamento devono rimanere quelli che sono.
Non sto mettendo in discussione nulla, né tanto meno sto cercando di riformulare in maniera rigorosa qualcosa di già noto, ci mancherebbe.

La mia idea riguardava semplicemente il formulare, a livello discorsivo, una frase che potesse far intuire più facilmente agli studenti il concetto di limite.
Una frase a margine, molto discorsiva, che condisse le spiegazioni rigorose, per avvicinare maggiormente gli studenti alla comprensione del concetto.

Come ha fatto notare gabriella..

Penso che impe con $ Delta f $ intendesse, anche se la notazione è imprecisa, lo 'scostamento' di $ f $ dal limite $ c $.

..Il concetto da me presentato era ben lontano dall'essere rigoroso

Però hai capito benissimo ciò che intendevo.

[Luca.Lussardi]

Chiaramente la definizione di limite e il suo insegnamento devono rimanere quelli che sono.

Ni, nel senso che in realtà l'approccio alla Cauchy, classico nell'insegnamento dell'analisi matematica, può essere ritoccato e rendere limiti e continuità meglio allineati. Infatti, con l'approccio tradizionale la continuità di una funzione in un punto del suo dominio equivale al fatto che il limite sia il valore della funzione in quel punto solo se il punto è di accumulazione per il dominio della funzione. Si dimostra poi che ogni funzione è banalmente continua nei punti isolati del suo dominio. Se invece uno modificasse leggermente (o di molto, dipende dai punti di vista) la definizione di limite questo disallineamento non ci sarebbe più. Più precisamente, se $x_0$ è aderente al dominio $E$ di $f$ allora si dice che $l$ è limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se per ogni $V$ intorno di $l$ esiste $U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U\cap E)\subseteq V$ (di fatto si mette $f(U\cap E)\subseteq V$ invece che $f(U \setminus\{x_0\}\cap E)\subseteq V$). Il fatto che $x_0$ sia aderente ad $E$ garantisce l'unicità del limite in questa formulazione (che ha origine in Laurent Schwartz ed è stata ripresa anche da De Giorgi). Con questa definizione la continuità diventa a tutti gli effetti un caso particolare di limite: se $x_0\in E$ allora $f$ è continua in $x_0$ se e solo se il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ vale $f(x_0)$ (si dimostra che se $f$ ha limite $l$ per $x$ che tende a $x_0\in E$ allora necessariamente $l=f(x_0)$). Questo ritocco della definizione potrebbe sembrare lontano dall'idea di limite, perchè ad esempio la funzione $f$ che fa sempre $0$ tranne che in $x=0$ dove fa $1$ non ammette limite per $x$ che tende a $0$. Si osservi però di fatto non stiamo toccando i limiti "importanti" come la definizione di derivata perchè la definizione ritoccata coincide con quella "alla Cauchy" se $x_0$ non appartiene al dominio della funzione. La nozione rivista di limite permette anche di avere enunciati di calcolo molto più semplici, ad esempio la composizione dei limiti vale sotto le ipotesi più naturali possibili, quando invece usando la definizione tradizionale vanno aggiunte ulteriori ipotesi per garantire la stabilità del limite per composizione.

[impe]

Più precisamente, se $x_0$ è aderente al dominio $E$ di $f$ allora si dice che $l$ è limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se per ogni $V$ intorno di $l$ esiste $U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U\cap E)\subseteq V$ (di fatto si mette $f(U\cap E)\subseteq V$ invece che $f(U \setminus\{x_0\}\cap E)\subseteq V$). Il fatto che $x_0$ sia aderente ad $E$ garantisce l'unicità del limite in questa formulazione (che ha origine in Laurent Schwartz ed è stata ripresa anche da De Giorgi). Con questa definizione la continuità diventa a tutti gli effetti un caso particolare di limite: se $x_0\in E$ allora $f$ è continua in $x_0$ se e solo se il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ vale $f(x_0)$ (si dimostra che se $f$ ha limite $l$ per $x$ che tende a $x_0\in E$ allora necessariamente $l=f(x_0)$).

Mmm. Magari potrebbe essere funzionale ed utile sul lungo periodo questo ritocco.

Però in un primo momento pensi che possa risultare più intuitivo per un diciannovenne?

[Luca.Lussardi]

Il fatto che sembri meno intuitiva di quella "alla Cauchy" è dovuto semplicemente al fatto che quasi tutti insegnano quest'ultima. Quando io ho studiato mi è stata insegnata questa definizione ritoccata e non ho mai avuto problemi ad accettarla, tantissima teoria viene molto più semplice.

[impe]

Effettivamente devo ammettere che non avevo mai incontrato la definizione che hai citato. Secondo te come mai viene snobbata?

[Luca.Lussardi]

A mio parere è un fatto di tradizione, il limite alla Cauchy si è imposto rapidamente sul panorama quando fu data la prima definizione rigorosa e da allora permea l'insegnamento dell'analisi matematica in tutto il mondo. Questo però è successo prima che la topologia e la teoria degli insiemi offrissero delle basi fondazionali per molti concetti basilari dell'analisi. Da quel momento la riflessione sull'eventuale revisione di questi ultimi è iniziata ma parliamo comunque dei primi nel novecento per cui ci vorrà ancora del tempo, io sono quasi certo che prima o poi questo approccio ritoccato prenderà piede perchè rende la teoria più semplice sotto tanti punti di vista. In ambito universitario è ad oggi minoritario, in ambito scolastico sembra completamente sconosciuto.