Equazione trigonometrica

[axpgn]

Risolvere la seguente equazione $(cos(x))^2+(cos(2x))^2+(cos(3x))^2=1$



Cordialmente, Alex

[giammaria]

C'è un metodo molto banale, ma mi chiederò se si può fare di meglio.

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Con le formule di duplicazione e di triplicazione l'equazione diventa

$cos^2 x+(2cos^2x-1)^2+(4cos^3x-3cosx)^2=1$

cioè, a calcoli fatti,

$16cos^6 x-20cos^4 x+6cos^2 x=0$

che si risolve facilmente mettendo in evidenza e con la biquadratica.

[axpgn]

Per te è banale ma per altri ...

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Battute a parte, è un problema che viene dalle Olimpiadi della Matematica, seppur di decenni fa.
L'autore che lo commenta nel libro dove l'ho letto, propone due soluzioni alternative a "quella di routine" che non riporta ma, sostanzialmente, fa capire che si tratta di usare le formule che hai usato tu o analoghe.

Le due alternative non sono più semplici di questa però interessanti.
Una si basa ancora su identità trigonometriche mentre l'altra (che mi è poco chiara) usa i numeri complessi.

Mi piacerebbe però vedere i risultati "in chiaro" per vedere se corrispondono perché ho provato a dare in pasto a Wolfram entrambe le equazioni e mi dà soluzioni diverse fra loro ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Credo di aver capito perché le soluzioni sembrano non corrispondere.

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Col metodo che ho indicato le soluzioni sono indicate in modo diverso ma, vedendole sul cerchio goniometrico, si nota che possono essere scritte nella forma $pi/4+kpi/2; " "pi/6+k pi/3$.
Con un altro metodo (che penso sia quello che dici basato sulle identità trigonometriche) si arriva all'equazione
$cosxcos2xcos3x=0$
che sembra avere anche la soluzione $pi/2+kpi$. Questa soluzione è però già compresa nell'ultima che ho scritto e quindi può non essere indicata.
Mi incuriosisce la soluzione basata sui numeri complessi ma lascia perdere: se è poco chiara a te, quasi certamente lo sarà anche meno per me.

[axpgn]

@giammaria

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Con un altro metodo (che penso sia quello che dici basato sulle identità trigonometriche) si arriva all'equazione $cosxcos2xcos3x=0$

Esatto. Carina, dai.
Ho fatto i conti e le soluzioni son le stesse.

Mi incuriosisce la soluzione basata sui numeri complessi ma lascia perdere: se è poco chiara a te, quasi certamente lo sarà anche meno per me.

Non credo proprio
Appena ho un po' di tempo, lo posto.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

La soluzione usando i complessi è questa:

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L'autore, prima fa una premessa in cui dimostra come, dato un numero complesso $z=cos(theta)+isin(theta)$, si giunga a $cos(ntheta)=(z^n+z^(-n))/2$ e $isin(ntheta)=(z^n-z^(-n))/2$, poi passa alla soluzione vera e propria.

Usando quelle identità passa da $(cos(theta))^2+(cos(2theta))^2+(cos(3theta))^2=1$ a $(z+z^(-1))^2+(z^2+z^(-2))^2+(z^3+z^(-3))^2=4$

Sviluppa i quadrati e li mette in progressione geometrica così $z^(-6)+z^(-4)+z^(-2)+1+z^2+z^4+z^6= -1$ da cui $(z^(-6)-z^8)/(1-z^2) = -1$ ovvero $z^7-z^(-7)=-(z-z^(-1))$ ed infine risostituendo $sin(7theta)=-sin(theta)=sin(-theta)$

Cordialmente, Alex