base ortonormale

[Aletzunny]

sto cercando di risolvere questo "quesito" un po' particolare ma non ho davvero idea su come procedere.

"Si trovi un algoritmo che, dato un vettore generico $x in CC^n$, norma euclidea di $x$ pari a $1$, faccia si che $(x,V_2,...,V_n)$ sia base ortonormale di $CC^n$

ciò a cui sono giunto è questo:

il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$: infatti una volta trovata una base che contiene $x$, poi applicando Grand_Schmidt la rendo ortonormale.

non riesco a capire come sfruttare il fatto che la norma euclidea di $x$ sia $1$

grazie

[Magma]

Ciao ,

il problema sta a trovare una base di $CC^n$ che contiene sempre $x$

In che senso?

applicando Grand_Schmidt la rendo ortonormale.

L'algoritmo si chiama ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

non riesco a capire come sfruttare il fatto che la norma euclidea di $ x $ sia $ 1 $

Parti dalla definizione di norma: come si calcola?

[Aletzunny]

$ ||x||=sqrt(sum_{i=1}^n (x_i)^2)$ ma non ho compreso come mi possa aiutare, poiché in tale somma posso ottenere $1$ (salvo miei errori) in molti modi diversi

[Martino]

Il fatto che la norma di $x$ sia 1 non ti dice niente, è necessario che $x$ abbia norma 1 altrimenti $x$ non potrebbe appartenere a una base ortonormale (la parola "ortonormale" significa che i vettori sono due a due ortogonali e di norma 1 - "normale" significa di norma 1). Ora quanto all'algoritmo: hai pensato di considerare lo spazio ortogonale a $x$? Cioè lo spazio che consiste di tutti e soli i vettori ortogonali a $x$.

[Aletzunny]

Il fatto che la norma di $x$ sia 1 non ti dice niente, è necessario che $x$ abbia norma 1 altrimenti $x$ non potrebbe appartenere a una base ortonormale (la parola "ortonormale" significa che i vettori sono due a due ortogonali e di norma 1 - "normale" significa di norma 1). Ora quanto all'algoritmo: hai pensato di considerare lo spazio ortogonale a $x$? Cioè lo spazio che consiste di tutti e soli i vettori ortogonali a $x$.

ciao, prima di tutto ad essere onesto non avevo nemmeno pensato (e non ricordavo) la sua esistenza: ho trattato algebra lineare in maniera del tutto diverse e questi argomenti sono stati trascurati anche a lezione; sostanzialmente dovrei considerare $P={v in CC^n | <x,v> =0}$, ma ho molti dubbi e cerco di scriverli qui

1) come costruisco in primis $P$

2) automaticamente i vettori di $P$ sono linearmente indipendenti e quindi una base di $CC^n$ contenente $x$?

3) applicherei Grand-Schmidt alla base trovata per soddisfare la richiesta iniziale?

grazie

[Magma]

$ ||x||=sqrt(sum_{i=1}^n (x_i)^2)$ ma non ho compreso come mi possa aiutare, poiché in tale somma posso ottenere $1$ (salvo miei errori) in molti modi diversi

Il tuo scopo è ottenere una base di vettori ortogonali e di norma unitaria, quindi $||x||=1$ è uno degli obiettivi; prima mi sono espresso in modo superficiale, volevo intendere "parti dalla definizione di norma per capire come ottenere dei vettori con norma unitaria".

[Aletzunny]

Ma come ho scritto sopra, partendo da quella definizione di Norma euclidea come costruisco $V_2,...,V_n$ linearmente indipendenti con $x$ per poi normalizzarli con G-S?

[Bokonon]

Prendi un vettore che non appartiene allo spam di x e usi GS. Poi scegli un secondo vettore che non appartenga allo spam dei primi due e usi GS e così via.

[Aletzunny]

Spero di aver capito, potrei forse anche sfruttare i vettori $e_2,..,e_n$