[1] La versione più generale del "teorema" che mi sono costruito (cinque minuti fa, ché quella che ho frasato ieri me la sono già dimenticata, ovviamente) è
Siano \( D \), \( E \) ed \( F \) qualcosa a scelta tra tre sottoinsiemi di \( \mathbb R \), tre spazi metrici o tre spazi topologici. Sia \( x_0\in D \) un punto di accumulazione. Sia \( \phi\colon D\setminus\{x_0\}\to E \) una funzione. Supponiamo che esista il limite \( y_0 := \lim_{x\to x_0}\phi(x) \), e osserviamo che è un punto di accumulazione di \( E \). Supponiamo anche che esista un intorno, \( W \), di \( x_0 \) in \( D \), tale che per ogni \( x\in W\setminus\{x_0\} \) si abbia \( \phi(x)\neq y_0 \). Sia \( f\colon E\setminus\{y_0\}\to F \) una funzione.
Se esiste il limite \( \lim_{y\to y_0}f(y) \), allora esiste anche il limite \( \lim_{\substack{x\to x_0\\x\in W}}f(\phi(x)) \), e i due coincidono.
La domanda che ho, è: c'è qualche motivazione didattica in particolare? Tranne che nelle situazioni più ovvie, mi sembra che isolare un lemma del genere sia inutile. Ad esempio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano \( \mathbb R\xrightarrow{f} \mathbb R\xrightarrow{g} \mathbb R \), con \( f \) derivabile in \( x_0 \) e \( g \) derivabile in \( f(x_0) \). La chian rule per \( f \) e \( g \) si dimostra passando per la continuità di una funzione di supporto, \( h \), definita a tratti come
\[
h(x) = \begin{cases}
\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{f(x) - f(x_0)} & \text{se $ f(x) - f(x_0)\neq 0 $}\\
g^\prime(f(x_0)) & \text{altrimenti}
\end{cases}
\] la quale deve essere provata necessariamente "con le mani".
\[
h(x) = \begin{cases}
\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{f(x) - f(x_0)} & \text{se $ f(x) - f(x_0)\neq 0 $}\\
g^\prime(f(x_0)) & \text{altrimenti}
\end{cases}
\] la quale deve essere provata necessariamente "con le mani".
Come spiegate voi il cambiamento di variabile?
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