È più utile o dannoso dire di non fare un errore?

[413]

Meglio se capiti, ma non so quanto sia ragionevole sperare di farlo capire a tutti, già se a tutti si facesse almeno ricordare non mi sembrerebbe male.

Ha senso dire a uno studente cosa deve fare e cosa non deve fare in un problema di "geometria analitica"? Secondo me, no. C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule". Inoltre il processo di apprendimento si basa sulla possibilità di commettere errori ed elaborare domande sugli aspetti non chiari.

Anticipare gli errori che non si devono commettere mi sembra un po' come andare in palestra a guardare gli altri fare esercizi.

Dopodiché capisco l'esigenza pratica di non bocciare 3/4 della classe...

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ma il 6 politico a chi "proprio per la matematica non è portato" non lo digerisco...

[gugo82]

C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule".

Esempio?

[413]

Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3? Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale. Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.

[gugo82]

Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3?

Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa" ti consiglio, innanzitutto, vivamente di prendere un po' in mano un buon testo di Storia della Matematica e rivedere i capitoli su Cartesio e Fermat. Poi, ti farei osservare che la teoria delle coniche può essere proprio il punto di partenza per introdurre argomenti di Algebra Lineare (e.g, trasformazioni del piano) e, insieme allo studio dei sistemi lineari, per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.

Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale.

Beh, non che serva necessariamente l'Algebra Lineare per questo...

Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.

Quando tenevo il corso di Analisi I agli ingegneri, le funzioni elementari io me le costruivo tutte... Certo, non insistevo troppo sulla teoria, ma su definizione e proprietà importanti sì.

[giuliofis]

Meglio se capiti, ma non so quanto sia ragionevole sperare di farlo capire a tutti, già se a tutti si facesse almeno ricordare non mi sembrerebbe male.

Non è pensabile far capire a tutti, matematica come qualsiasi altra disciplina. È pensabile far capire a molti. Per questi molti, forse dire di non fare un errore è almeno in prima battuta più dannoso, ma per gli altri è sicuramente utile (forse necessario).
Direi quindi che non esiste risposta, dipende dal soggetto: e dato che non possiamo creare classi di soli geni e classi di soli somarelli, la soluzione sta nel mezzo.

per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.

Che forse è la cosa più importante che un ragazzo liceale dovrebbe portarsi a casa dallo studio delle coniche. Si tratta, di fatto, del primo approccio strutturato multidisciplinare (algebra+geometria) che si vede a scuola! Alla faccia di argomento secondario..! Al più potrei essere d'accordo sul ridurne la mole.

[413]

@gugo82 sei finito ampiamente OT, ti rispondo per correttezza, ma considerala una risposta conclusiva. Dopotutto non ho mai detto di volere, o sentirne la necessità, cambiare l'attuale programma delle scuole superiori. Non era quello il mio punto (e non m'interessa nemmeno più di tanto).

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Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa"

Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Esempio: determinare (se esistono) le rette del fascio \( \displaystyle t(x-3)+(y-x)=0\lor x-3=0,\,t\in\mathbb{R} \) in modo che ciascuna retta formi con la parabola di equazione \( \displaystyle y-x^2+2x=0 \) un segmento parabolico di area \( \displaystyle 1/6 \) .

Ti rimando a una provocazione fatta da qualcuno mooolto più autorevole di me

https://youtu.be/cuJY14BYac4?t=388

ti consiglio, innanzitutto, vivamente di prendere un po' in mano un buon testo di Storia della Matematica e rivedere i capitoli su Cartesio e Fermat.

Nel caso non abbia mai letto un libro sulla storia e la filosofia del pensiero matematico, lo farò sicuramente.

Poi, ti farei osservare che la teoria delle coniche può essere proprio il punto di partenza per introdurre argomenti di Algebra Lineare (e.g, trasformazioni del piano) e, insieme allo studio dei sistemi lineari, per mostrare che tra Algebra e Geometria c'è un'interazione mooolto più forte di quanto il lavoro del primo anno e mezzo di liceo faccia supporre.

O, al contrario, potrebbe essere il punto di arrivo dello studio dell'algebra lineare in dimensioni 2 e 3 , introducendo le coniche come luoghi degli zeri di polinomi a coefficienti reali di grado 2 in due indeterminate. Meglio? Probabilmente no. Infattibile? Sicuramente no.

Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale.

Beh, non che serva necessariamente l'Algebra Lineare per questo...

Vero.

Quando tenevo il corso di Analisi I agli ingegneri, le funzioni elementari io me le costruivo tutte... Certo, non insistevo troppo sulla teoria, ma su definizione e proprietà importanti sì.

Non mi riferivo al corso che tenevi tu nello specifico. So per certo, ad esempio, che fino a qualche anno fa (non so se sia ancora così) spesso i corsi di Analisi 1 al PoliMi condensavano in 10 cfu sia gli argomenti di calcolo, sia le basi di algebra lineare, quindi non c'era materialmente il tempo di fare (diciamo abbozzare?) una costruzione dei numeri reali e riprendere la definizione delle funzioni elementari. Il fatto che tu sentitivi la necessità di richiamare quegli argomenti conferma indirettamente la mia sensazione che gli studenti delle superiori non escano con grandi certezze a riguardo, non penso che tu li richiamassi solo per "fissare il linguaggio".

Ritornando on topic. Un errore comune che anticiperei agli studenti.

Determinare le soluzioni della disequazione \( \displaystyle (x-1)(x+1)>x+1 \) .
Soluzione (sbagliata):

\( \displaystyle \begin{align*}
(x-1)(x+1)&>x+1\\
x-1&>0\\
x&>1
\end{align*} \)

Un errore (o meglio due) comune che lascerei scoprire agli studenti.

Dato il fascio di rette di equazione \( \displaystyle t(y-x+1)+(x+y)=0\lor y-x+1=0,\, t\in\mathbb{R} \) , determinare (se esistono) le rette del fascio tangenti alla circonferenza di equazione \( \displaystyle x^2+y^2-1/4=0 \) .
Errore 1 (fatale durante un compito): partire in quarta senza fare prima il disegno.
Errore 2: impongo la condizione di tangenza alla circonferenza sulla retta di equazione \( \displaystyle y=\frac{t-1}{t+1}x-\frac{t}{t+1} \) dipendente dal parametro \( \displaystyle t \) . Soluzione (sbagliata): \( \displaystyle t=1 \) , l'unica retta del fascio tangente alla circonferenza è \( \displaystyle y=-1/2 \) .

[j18eos]

Più che imporre la norma proibitiva "NON lo devi fare.", io affermerei "Questo è un errore, PERCHÉ..."

Dalla mia esperienza didattica vedo che un approccio simile è molto apprezzato, perché si sentono incoraggiate\i a riflettere.

P.S.: io al mini-corso di \(\LaTeX\) che tenni a Trieste, ho sempre scritto alla lavagna, che il comando giusto è \LaTeX, e feci vedere che nelle altre varianti il compilatore mi da errore... NON ha funzionato ovviamente.

[gugo82]

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@gugo82 sei finito ampiamente OT, ti rispondo per correttezza, ma considerala una risposta conclusiva. Dopotutto non ho mai detto di volere, o sentirne la necessità, cambiare l'attuale programma delle scuole superiori. Non era quello il mio punto (e non m'interessa nemmeno più di tanto).

Se credi che la teoria delle coniche sia "fine a se stessa"

Non intendevo che la teoria classica delle coniche fosse fine a se stessa, ma che la parte di programma relativa alle coniche, con particolare riferimento agli esercizi (perché mi pare che L'OP intendesse riferirsi soprattutto agli errori ricorrenti negli esercizi), sia abbastanza fine a se stessa.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Esempio: determinare (se esistono) le rette del fascio \( \displaystyle t(x-3)+(y-x)=0\lor x-3=0,\,t\in\mathbb{R} \) in modo che ciascuna retta formi con la parabola di equazione \( \displaystyle y-x^2+2x=0 \) un segmento parabolico di area \( \displaystyle 1/6 \) .

Sai com'è, in queste frasi:

C'è tutta una classe di argomenti delle superiori che è abbastanza fine a se stessa, nel senso che potrebbe essere sostituita con altri argomenti di matematica opportunamente semplificati, e non influirebbe più di tanto sulla preparazione finale dello studente, dal momento che il loro scopo è quello di sviluppare la sua capacità di astrazione: leggere, scrivere, interpretare e manipolare "formule".

Esempio di argomento da sostituire e con cosa? Tutta la parte delle coniche con un po' di algebra lineare in dimensioni 2 e 3? Magari così si convincono che non esistono solo le funzioni reali di una variabile reale. Io darei anche più spazio alla costruzione dei reali (a me pareva di avere fatto qualcosina sulle classi contigue di Cantor al liceo) e alla definizione delle funzioni elementari: se guardi nella sezione delle superiori l'argomento potenze ad esponente reale è abbastanza ricorrente. Non so se vengono riprese nei corsi di analisi di ingegneria/economia/etc.

si parlava di "argomenti", mica di "particolare riferimento agli esercizi"... Sarà stata una svista o probabilmente il riferimento è saltato.

Ad ogni buon conto, visto che i "programmi" non esistono più (sono stati soppiantati dalle Indicazioni Nazionali, come certo saprai) il docente ha una gran libertà di scelta rispetto a cosa, e come, e quando proporre.