Tanti modi di introdurre le derivate

[gugo82]

@gabriella127 Quello che volevo dire è che pensare a una variazione istantanea è dannatamente paradossale (guarda anche questo); e lo è sia per me che tanto più (immagino) per chi vede le derivate per la prima volta. [...] quello che ho scritto non era una presa per il culo, come invece l'hai interpretato.

I latini avrebbero detto est modus in rebus.
Il "dire bene" non è solo un atteggiamento da tenere a livello tecnico, ma anche a livello di comunicazione personale.

Nota anche che la domanda iniziale riguardava in un certo senso quale dovesse essere l'interpretazione giusta della derivata, non di come definirla.

Ad essere sincero, l'incipit dello OP recitava:

Non mi piace il modo in cui è introdotta la derivata nei corsi di analisi in una variabile [...]

e seguiva poi una definizione di derivata/differenziale (non si capisce bene, perché non fai distinzione... E quindi non spieghi cosa non ti è chiaro).

Riguardo invece il fatto che con l'ultimo post ho divagato: sì, è vero. Però non saprei come separare le due domande: insomma, il piano didattico è vicino a quello sostanziale (una cosa la definisci in un certo modo perché vuoi formalizzare un'idea che hai in testa; ma qual è questa idea: una variazione istantanea o altro?)

Il piano didattico non è poi tanto vicino a quello sostanziale, o almeno non sempre. Se ci rifletti, la didattica è mediazione (anche se in tanti, per le ragioni più disparate, tendono a dimenticarlo).

[gabriella127]

Sì, gugo, da un lato ti dò ragione, ma io non ce l'ho affatto con Marco, che secondo me fa benissiimo a porsi certi problemi, possono anche essere 'pose', ma non credo che nel caso di Marco sia un atteggiamento superficiale, c'è
una reale voglia di capire e di pensare, e ognuno deve seguire il proprio carattere e la propria strada.

Quello che mi sembra è che Marco, anzi, mi rivolgo direttamente a lui, che tu Marco, ami l'astrazione e il 'volare alto', e questo probabilmente ti indirizza verso alcune materie più che verso altre, non so. E questo ti fa merito.
Ma non bisogna volere la complicazione a tutti i costi, fino a restarci male (perdonami se te lo dico) se la questione può avere risposte (apparentemente) semplici, senza attingere ai massimi sistemi della matematica attuale, a nozioni avanzate e parole altisonanti. E credimi, non è una critica, tu hai diritto al tuo carattere e alla tua forma mentis, ma devi accettare che ci siano altre persone che non procedono così.
E non ti devi offendere se uno dà spiegazioni che si mantengono a un livello 'più basso', come se uno sminuisse quello che dici (e metto il 'più basso' tra diecimila virgolette').
Perché la semplicità non è una cosa facile da raggiungere ed è spesso il segno di maturità intellettuale, mentre la complicazione a tutti i costi sembra, come dire, una 'malattia infantile del matematico', che può oscurare le questioni invece di consentire di andare avanti in profondità a mano a mano in una una materia così complessa come la matematica.

E' una cosa che hanno detto anche i poeti, non mi ricordo chi diceva che da ragazzi si apprezza 'Romagna solatìa dolce paese', per poi passare all'intellettualismo degli ermetici, per poi ritornare con la maturità a 'Romagna solatìa dolce paese'-
Ecco Marco, non schifare 'Romagna solatìa dolce paese', vedrai che arriverai ad apprezzarlo

Perdonami se mi permetto questo discorso personale, lo dico solo da persona più avanti di te con gli anni, non certo migliore o più intelligente di te. E lo dico perché il tuo contributo e il tuo dialogo qui sul Forum, che io apprezzo molto, possa continuare nella maniera migliore per tutti.

@ gugo Per quanto riguarda i 'grandi', ripeto che ognuno ragiona e contribuisce secondo la propria personalità e va bene così, la pluralità degli atteggiamenti e delle argomentazioni non può che fare bene al Forum.

[edit] Marco, vedo solo ora il tuo ultimo post sugli infinitesimi, rileggo con calma e poi ne riparliamo

[gugo82]

Sì, gugo, da un lato ti dò ragione, ma io non ce l'ho affatto con Marco, che secondo me fa benissiimo a porsi certi problemi, possono anche essere 'pose', ma non credo che nel caso di Marco sia un atteggiamento superficiale, c'è una reale voglia di capire e di pensare, e ognuno deve seguire il proprio carattere e la propria strada.

Figurati se io ce l'ho con Marco... Solo che di certi atteggiamenti/pose/espressioni meno ce n'è, meglio è: non contribuiscono alla serenità del discorso.

[gabriella127]

Il piano didattico non è poi tanto vicino a quello sostanziale, o almeno non sempre. Se ci rifletti, la didattica è mediazione (anche se in tanti, per le ragioni più disparate, tendono a dimenticarlo).

Sono molto d'accordo.
Io ho insegnato non matematica, ma economia ai miei cari somaroni (somaroni non perché fossero stupidi, anzi, ma l'economia è ostica per studenti di giurisprudenza), devo dire sempre con ottimo rapporto con gli studenti.

C'è bisogno di un momento più sofisticato, più approfondito, in cui si spiegano le cose più col cesello, ma poi c'è bisogno anche della zappa: "Fate così così e cosà, mettete due assi in croce e scrivete questo e quello, non avete capito? Fatelo lo stesso, crepate a fare bene i grafici e poi ne parliamo". Non proprio così, ma il succo è quello.

Come dire, col nostro insuperato maestro Carlo Verdone, sta mano po esse fero e po esse piuma"

[otta96]

Il piano didattico non è poi tanto vicino a quello sostanziale, o almeno non sempre. Se ci rifletti, la didattica è mediazione (anche se in tanti, per le ragioni più disparate, tendono a dimenticarlo).

Sono assolutamente d'accordo anche io, se fosse in quel modo nei corsi di topologia bisognerebbe innanzitutto fare anche gli spazi uniformi, ma soprattutto prima degli spazi metrici, cosa che non fa praticamente nessuno (direi anche giustamente), l'unico caso che conosco che lo fa è il Bourbaki nel suo libro di topologia.

[marco2132k]

Visto che mi sono un attimo schiarito le idee riguardo a che cosa chiedere, volete che si chiuda questo thread confusionario e che ne apra un altro appena ho tempo (entro domani spero) di fare delle domande concrete?

Perché anche se rispondeste a quello che ho scritto qui, è improbabile che imbrocchiate la risposta giusta, perché è vero che non è per nulla chiaro quello che non mi è chiaro.

[gabriella127]

Secondo me è meglio continuare qui, anche se non è chiaro quello che non è chiaro, la mancanza di chiarezza qui può aiutare a far diventare più chiaro ciò che non è chiaro

[gabriella127]

Piccola chiarificazione (poi rispondo dopo un po').

@gabriella127 Quello che volevo dire è che pensare a una variazione istantanea è dannatamente paradossale (guarda anche questo); e lo è sia per me che tanto più (immagino) per chi vede le derivate per la prima volta.

P.S. Sono sicuro di aver appena scritto un aborto incomprensibile ma ho una certa fretta

No no, si capisce benissimo.
Hai ragione a dire che l'idea di variazione istantanea¹ (variazione in un tempo infinitesimo) può portare a paradossi, si sa che è la nozione stessa di infinitesimo che è stata oggetto di infinite elucubrazioni, il paradosso di una quantità che è nello steso tempo nulla e non nulla ad esempio.
Ma qua siamo nell'ambito della questione, con secoli di storia alle spalle, del comprendere le nozioni di infinito e di infinitamente piccolo, che tanti paradossi e discussioni hanno portato, sia in filosofia sia in matematica.
In analisi matematica quale noi la studiamo, la soluzione è stata nel concetto di limite, è quello che ha spianato la strada all'uscita dai paradossi, ma che ha, per così dire, addomesticato l'infinito riportandolo al finito, il cosiddetto infinito potenziale. Poi, l'infinito attuale (nel senso di 'in atto', contapposto all'infinito potenziale, non nel senso di 'presente') è tornato con Cantor, ma non senza polemiche.
Ma ripeto, non è che la questione degli infinitesimi sia chiusa e consegnata ai nostri antenati, c'è tutt'ora una letteratura in merito, anche filosofica. E, ripeto, c'è la loro riabilitazione, anche nella didattica, con l'analisi non standard.
Mi viene in mente, tanto per un esempio, un articolo in cui mi sono imbattuta, dal titolo Infinitesimal as an Issue of Neokantian Philosophy of Science, nel cui abstract si dice:

"[...] Our main thesis is that Marburg neo-Kantian philosophy formulated a sophisticated position towards the problems raised by the concepts of limits and infinitesimals. The Marburg school neither clung to the traditional approach of logically and metaphysically dubious infinitesimals, nor whiggishly subscribed to the new orthodoxy of the “great triumvirate” of Cantor, Dedekind, and Weierstrass that declared infinitesimals conceptus nongrati in mathematical discourse, etc. etc. etc.".

Mi fermo qui per non prendermi una secchiata di acqua in testa, ma comunque è solo per dire che non è che sono questioni che si possono liquidare come bruscolini.

E qui comunque siamo nell'ambito del capire matematicamente o filosoficamente questi concetti.

Ma qui stiamo parlando di didattica per persone alle prime armi, e secondo me e nella mia esperienza l'idea di istante e di infinitamente piccolo è abbastanza naturale, spontanea, dà quell'idea di "Ah ah, ho capito".
Poi che sia questa comprensione, non è dato saperlo bene, che sia questo 'capire intuitivamente'.
E prescinde da comunque si vogliano definire rigorosamente gli infinitesimi, perché qui casca l'asino.

Poi, sai, se ci sia una comprensione immediata intuitiva di questi concetti attiene più alle scienze cognitive e all'antropologia, che alla matematica e alla filosofia.
Ma il fatto che si parli di infinito e di infinitamente piccolo fin dall'antichità fa pensare che è qualcosa che si impone spontaneamente al pensiero umano.

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Note

1. Scusami, ho visto solo l'inizio del video, un video di 17 minuti al momento è superiore alle mie forze ↑

[marco2132k]

Allora, se non crollo prima dopo mi leggo il tuo post.

Comunque ho deciso di iniziare a mettere giù del materiale per un nuovo thread che sarà più propriamente matematico e che posterò nella sezione di analisi, così qui si può parlare di didattica (e si potrà parlare di didattica anche meglio, dopo che avrò chiarito quelle cose; vedrete perché insisto! ). Però faccio con calma.

[gabriella127]

Con tutto il tempo che vuoi, aspettiamo tue notizie, e grazie sempre dei tuoi interventi.