Numeri complessi, mi aiutate?

[Algalord]

devo ancora installare mathml per scrivere gli esercizi qua, lo farò fra un po'. qualcuno ntanto uò aiutarmi sui numeri complessi?Vi scrivo qualche esercizio

Z= radice di 3 - i/ 1-i

calcolarne il coefficente reale
calcolarne l'argomento principale

2)Z= 1 + radice di 3 per i/1 +i

calcolarne coefficente reale, immaginario e modulo

3) risolvere l'equazione algebrica

Z(al quadrato) + 2iz+ 3=0 Z appartiene a C


4) Z al quadrato -(1+i)z +1=0 Z appartiene a C

5) Z al quadrato +(i per radice di 3 +1)z -1=0

grazie

[*pizzaf40]

Non sto a risolverti tutto ovviamente, ma lo scopo è quello di eliminare il denominatore moltiplicando sopra e sotto, così da eliminare la $i$ al denominatore.

1)

$z=(1+isqrt3)/(1-i)=(1+isqrt3)/(1-i)*((1+i)/(1+i))=((1+isqrt3)*(1+i))/(1^2-i^2-i+i)=((1+isqrt3)*(1+i))/(1-(-1))=((1+isqrt3)*(1+i))/2$

ovviamente ricordati sempre che $i^2=i*i=sqrt(-1)*sqrt(-1)=-1$
Quindi, sviluppando semplicemente i calcoli:

$z=(1^2+i+isqrt3+i^2sqrt3)/2=(1+i(1+sqrt3)-sqrt3)/2=(1-sqrt3)/2+i*((1+sqrt3)/2)=Re+i(Im)$

$Re$=coeff. reale
$Im$=coeff. immaginario
$M=sqrt((Re)^2+(Im)^2)$=modulo
$phi=arctg((Im)/(Re))$=fase(che è un angolo)

Visto che mi sembri agli inizi, la parte reale si chiama così perchè è un numero reale, la parte immaginaria si chiama così xkè $i=sqrt(-1)$ è radice di un numero negativo (che nei numeri reali non esiste, dunque immaginaria).
Inoltre immagina il piano cartisiano $xy$...se l'asse $x$ la chiami asse $Re$ (mettendoci il valore della parte reale) e al posto dell'asse $y$ metti l'asse $Im$ (con il valore del coeff. immaginario) ottieni un punto di coordinate$(Re,Im)$.
Ora collega questo punto al centro, cioè a $(0,0)$...non potrai fare a meno di notare che $M$ è la lunghezza della linea che unisce i due punti (col teorema di Pitagora) e $phi$ è l'angolo tra la linea stessa e l'asse delle $x$ (o $Re$)
Se il riconoscimento di $phi$ ti dovesse venire un po' meno intuitivo, basta che la pensi così (fatti anche un disegno che è più facile da seguire):

$M*cosphi=Re$
$M*senphi=Im$

$(M*senphi)/(M*cosphi)=(senphi)/cosphi=tgphi=tgphi=(Im)/(Re)$ =======> $phi=arctg((Im)/(Re))$

Se hai $z^2$, basta che lo risolvi come una parabola normale, e quindi ti trovi l'espressione di $Zcc1cc2$

$(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$

poi fai come prima per eliminare il denominatore...cmq, visto che al denominatore c'è $2a$, e negli esercizi dati $a$ è sempre reale non avrai questo problema. Il problema nascerà nel momento in cui hai la $i$ sotto radice. Quella a me verrebbe in mente di risolverla così:

$sqrt(b^2-4ac)=sqrt(A-i*B)$ <=====dopo aver dovutamente sviluppato i calcoli

$(C+iD)^2=(C+iD)*(C+iD)=C^2-D^2+i2D=(C^2-D^2)+i(2D)$

Se imponi $(A-i*B)=(C+iD)^2$, dovrà essere pure $sqrt(A-i*B)=(C+iD)$. Dunque se trovi $C$ e $D$ il problema della radice è risolto:

$(A-i*B)=(C^2-D^2)+i(2D)$
-------------------
$A=C^2-D^2$
$B=2D$
-------------------
$A=C^2-(B^2)/4$
$D=B/2$
-------------------
$C=sqrt(A-(B^2)/4)$
$D=B/2$

Nota che $B$ è immaginario, $B^2$ è reale, e $C$ risulta di conseguenza reale come deve essere (e $D$ immaginario)!!!!!!!!!!!!!!!!

...e quindi hai trasformato l'espressione sotto radice in qualcosa che ti permette di sommarlo a $-b$



Che fatica Ciao!!