Caccia alla funzione!

[Piera]

Determinare una funzione $f: RR->RR$ CONTINUA e NON LIMITATA su $[0,+infty)$ tale che $int_0^(+infty)f(x)dx<infty$.

[clrscr]

Potrebbe essere $e^(-x)$ ?

[Piera]

Scusate, intendevo continua e non limitata su $[0,+infty)$. Ora correggo!

[Camillo]

$f(x) =0 $,per $x=0 $
$f(x) = 1/sqrt(x) $ per $ 0<x<=1 $

$f(x) =1/x^2 $ per $ x > 1 $

Edit : azz, non va bene , non è continua in $ x=0 $

[rubik]

la funzione fatta dei triangolini costruiti su $n>=2$ come nel disegno e zero da tutte le altre parti. l'integrale viene la serie di $1/n^2$ che converge.

spero sia chiaro e giusto

[Piera]

Gran bella idea!
Io, invece, avevo pensato alla seguente funzione:
$f(x)=2x*senx^4$.
La funzione è non limitata e continua.
Inoltre, eseguento la sostituzione $x^2=t$, $2xdx=dt$, si ha
$int_0^(+infty)2x*senx^4dx=int_0^(+infty)sent^2dt < infty$ dato che è l'integrale di Fresnel.

Da notare come la mia funzione e quella di rubik siano integrabili senza essere infinitesime per $x->+infty$ (il limite di entrambe non esiste).
E' facile dimostrare che se $lim_(x->+infty)f(x)$ esiste allora per la convergenza di $int_0^(+infty)f(x)dx$ è necessario che $lim_(x->+infty)f(x)=0$, mentre se il limite non esiste nulla può dirsi.

[Piera]

Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione $f: RR->RR$ non identicamente nulla tale che $int_0^(+infty)f(x)dx=int_0^(+infty)[f(x)]^2dx <infty$.

[Tipper]

Supponendo che converga (suppongo). In ogni caso basterebbe prendere la funzione identicamente nulla.

EDIT: ah ecco.

[Piera]

Già, aggiungo!

[rubik]

cerco di sfruttare l'idea di prima.

allora cerco $ainRR$ tale che $int_0^(a)kxdk=int_0^(a)k^2x^2dx$ con $kinRR$ integrando trovo $a=2/(3k)$

sinceramente non so proprio come scrivere la funzione. l'idea comunque è di mettere uno dopo l'altro triangoli di questo tipo:

nel primo fissiamo $k=1$ nel secondo $k=2^2$ ... nell'n-esimo $k=n^2$

per costruzione gli integrali di $f(x)$ e $[f(x)]^2$ sono uguali e l'area di ogni triangolo è $2int_0^(a)kxdk=4/(9k)$ l'integrale fino a $+oo$ di f(x) è la somma delle aree dei triagoli e siccome $k=1,4,...n^2$ abbiamo la serie di $4/(9n^2)$ che converge.

non è che mi piace molto sta soluzione (ammesso che sia giusta) ma questo è quello che mi è venuto

spero (di nuovo) che sia chiaro e corretto attendo conferma!


edit: non so perchè mi sono impicciato tanto! in realtà basterebbe il primo di quei triangoli di cui parlavo sopra. così è più evidente il trucco di ridurre l'integrale da $(0,+oo)$ ad uno al finito rendendo nulla la funzione da un certo punto in poi. è una soluzione banale?

se non è considerata banale magari riscrivo tutto per rendere più comprensibile