Somma geometrica

[fausto1947]

Buona sera,
giorni fa, in quei momenti in cui uno si trova tra la veglia ed il sonno, mi é venuto da pensare a chi sia stato lo scopritore della formula generale e che strada abbia percorso per giungere a determinarla.
Ora, che la formula sia esatta lo dice anche la sua dimostrazione, che é scritta su tutti i libri di algebra, ma, mi chiedo, come faceva, lo scopritore, a sapere che moltiplicando e dividendo per " 1-x " avrebbe ottenuto la formula generale?
Fausto

[@melia]

Conoscendo la scomposizione dei polinomi è abbastanza ovvia. La cosa più rilevante è il lavoro fatto sui polinomi con la simbologia dell’epoca.

[fausto1947]

Chiedo scusa per la mia ignoranza, ma come faccio a scomporre il polinomio
1 + X + X↑2 ?

Fausto

[@melia]

In $RR$ non puoi, ma $1+x+x^2$ è il secondo fattore della scomposizione di $1-x^3$, infatti la differenza di potenze di ugual esponente è sempre scomponibile in un prodotto tra la differenza delle basi e la somma degli addendi ottenuti moltiplicando la prima base con potenze decrescenti da $n-1$ a $0$ e la seconda con potenze crescenti da $0$ a $n-1$:
$a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1))$
nel caso in cui $n$ sia un numero dispari è spesso la via migliore per scomporre il polinomio in fattori irriducibili.

Nel caso di $1-x^3$, che può essere letta come $1^3-x^3$ la scomposizione è
$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$
nel caso di $1-x^n$ la scomposizione diventa
$1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1))$

[fausto1947]

Grazie, adesso tutto mi é chiaro.
Quindi quando fu fatta la stesura della formula generale della somma geometrica già si era a conoscenza della scomposizione dei polinomi.
fausto

[@melia]

Quindi quando fu fatta la stesura della formula generale della somma geometrica già si era a conoscenza della scomposizione dei polinomi.
fausto

Sono certa di sì. Già Euclide parlava di operazioni tra polinomi in uno dei suoi libri. Il concetto di scomposizione in fattori per i numeri è anche precedente.

[fausto1947]

Grazie di tutto, sei stata molto gentile.
Arrivederci al mio prossimo dubbio.
Fausto