E' una domanda seria. (Radice quadrata)

[3m0o]

Perché al liceo, spesso, si insegna che \( \sqrt{2} = 1.4142...\) ? Perché non si dice che è solo una convenzione ma che potremmo benissimo scegliere di dire che \( \sqrt{2} = - 1.4142...\) ? Qual è l'utilità?

[Quinzio]

L'utilita' credo che sia quella di dare una risposta univoca alla domanda "qual e' la radice quadrata di 2".
A fare in modo che nei vari esercizi gli studenti non debbano sempre chiedersi quale delle due radici devono usare.

A me sembra che comunque venga detto a scuola che va benissimo anche la radice negativa, ma poi tutti per convenzione usano sempre quella positiva, che diventa la Radice per definizione.

[megas_archon]

Perché si crede che dare la risposta corretta, cioè che la radice quadrata di 2 è un insieme, e precisamente l'insieme fatto dai due numeri reali \(\alpha_1,\alpha_2\), uno opposto dell'altro, con la proprietà che \(\alpha^2=2\), sia troppo difficile per le zucche degli studenti.

[Martino]

Perché la radice quadrata è non negativa per definizione. Cioè per esempio $sqrt(4)=2$ (non $-2$). Non capisco cosa c'entri il liceo.

[Quinzio]

Beh, si e' no.
La definizione di radice quadrata che si legge ovunque e' "quel numero che moltiplicato per se stesso da il numero sotto radice".
Quindi va bene sia $\sqrt 4 = 2$ sia $\sqrt4 = -2$.
La radice non negativa viene chiamata "radice quadrata principale".
https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata
Credo che sia una tacita convenzione (tra chi ?) di prendere solo la radice positiva.

Piu' esattamente: con radice quadrata di $x$ si intende un numero $y$ tale che $y^2 = x$.
Questa e' la definizione di radice quadrata.
Poi c'e' il simbolo $\sqrt x$ con cui si intende la radice quadrata principale, quindi maggiore di zero.
Quindi c'e' una leggera diversa interpretazione tra il simbolo che puo' comparire in una formula e il concetto di radice quadrata.

Non capisco cosa c'entri il liceo.

Credo che volesse dire la scuola in generale. Non credo ce l'abbia in particolare con i licei.

[Quinzio]

Perché si crede che dare la risposta corretta, cioè che la radice quadrata di 2 è un insieme, e precisamente l'insieme fatto dai due numeri reali \(\alpha_1,\alpha_2\), uno opposto dell'altro, con la proprietà che \(\alpha^2=2\), sia troppo difficile per le zucche degli studenti.

Visti i risultati INVALSI, temo che tu abbia ragione.

https://www.ilsole24ore.com/art/invalsi ... ca-AF865CC

[Martino]

Ok ma che sia $sqrt(a) >= 0$ è una convenzione universale che tutti usano. Basta aprire un libro di analisi, troverai per esempio $int sqrt(x+1) * dx$, e ovviamente questo non avrebbe nessun senso se la radice quadrata fosse considerata polidroma. Un altro esempio è l'uguaglianza $sqrt(x^2)=|x|$ (quindi NON $pm |x|$), che si trova su qualsiasi libro serio scolastico o universitario.

[Quinzio]

Ma non e' questione di libri seri o libri poco seri, universitari o per ragazzi.
La definizione di radice quadrata che si trova pressoche' dappertutto (sulle fonti online che si possono consultare liberamente in 10 minuti) e' il numero che moltiplicato per se stesso da il numero sotto radice.

Poi, il simbolo $\sqrt x $ viene usato per la radice quadrata principale, che e' maggiore di 0.
Ma solo per il simbolo $\sqrt x$. La definizione di radice quadrata e' leggermente diversa ed e' quella che ho riportato.

Quindi l'uso del simbolo $\sqrt x$ non coincide completamente con la definizione di "radice quadrata".
Perche' ci sia questa ambiguita' non lo so.

Tra le fonti online c'e' Wikipedia in inglese:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
in italiano:
https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata
il dizionario di Cambridge
https://dictionary.cambridge.org/dictio ... quare-root
il sito di Wolfram:
https://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html

Faccio anche notare che il testo
https://www.matematicamente.it/staticfi ... mpleto.pdf
che si scarica da questo stesso sito, a pag. 81 dice
DEFINIZIONE. Si chiama radice quadrata del numero razionale non negativo a, il numero non negativo
b che elevato al quadrato è uguale ad a.

Quindi si dice che la radice quadrata e' (solo ?) un numero non negativo.

Forse nella tradizione italiana si e' consolidata questa definizione, mentre il mondo anglosassone adotta quella piu' generale.
Non so.

[3m0o]

No ma non ce l'avevo con i liceali, ne con i docenti, ne niente per carità. E' davvero una domanda di curiosità la mia!


Dico solo che in \( \mathbb{R} \) ci sono due numeri \(x_1,x_2\) con la proprietà che il quadrato è \(2\), uno è \(x_1 =1.4142...\) l'altro è \(x_2=-1.4142\) e questa è una proprietà solamente algebrica, e fintanto che facciamo solo algebra sono indistinguibili, nel senso che indipendentemente dal fatto che diciamo che il simbolo \( \sqrt{2} = x_1\) o che scegliamo \( \sqrt{2} = x_2 \) abbiamo che \(x_1=-x_2\), abbiamo che per esempio \( (1+\sqrt{2})^{-1} = \sqrt{2} - 1 \), e queste sono verità deducibili soltanto dalla proprietà che \(\sqrt{2} \) al quadrato è \(2\) indipendentemente da quale dei due numeri intendiamo. Cioè valgono sia per \(x_1\) che per \(x_2\). E queste proprietà non sono per nulla legate a \( \mathbb{R} \), laddove esiste la radice di 2, ad esempio in \( \mathbb{F}_7 \) abbiamo ad esempio \(x_1 = 3 \) e \(x_2=4 \) e anche qui abbiamo che \(x_1=-x_2\) oppure \( (1+\sqrt{2})^{-1} = \sqrt{2} -1 \) indipendentemente dalla scelta di chiamare \(x_1\) o \(x_2\) con il simbolo \( \sqrt{2}\).

Tutto ciò che distingue \(x_1\) da \(x_2\) non è una proprietà algebrica che segue dalla definizione di radice di \(2\), già dire che \(x_1 \) è positivo e \(x_2\) è negativo vuol dire dare un ordine a \( \mathbb{R} \), ma se non abbiamo nessun ordine come le distingui? Certo in altri modi, però attenzione la radice di \(2\) può esistere anche laddove non c'è nessun ordine! Sono d'accordo che la funzione \( \sqrt{x} \) su \( \mathbb{R}_{\geq 0} \) è definita appunto prendendo il valore positivo, ma è un oggetto differente questo, che per definire in un certo senso devi già avere la conoscenza del esistenza dei due oggetti! Il motivo per esempio per cui è definita soltanto sui non negativi è che in \( \mathbb{R} \) ad esempio non esistono numeri che soddisfano la proprietà che moltiplicato per se stesso mi dia \(-1\). Quindi lì non la definisco, mentre se esistono ne scelgo una, e questa funzione in particolare è definita scegliendo quella positiva!. Per distinguere la funzione, chiamiamola \(r(x) \) che per definizione associa ad \(x\) la soluzione positiva a \(y^2-x= 0 \) se esiste.
Nel caso di \(2\) con la convenzione che \( \sqrt{2} \) rappresenta \(1.4142...\) abbiamo che \( r(2) = \sqrt{2} \) mentre se prendessimo la convenzione che \( \sqrt{2} \) rappresenta \( -1.4142...\) allora avremmo \( r(2) = - \sqrt{2} = 1.4142... \) e tutto quello che dici Martino non cambia!

Quello che voglio dire è che la scelta \(x_1= \sqrt{2}\) o \(x_2 = \sqrt{2} \) è davvero arbitraria, e per convenzione (che fanno tutti generalmente) è dire che \( x_1 = \sqrt{2} \), proprio perché penso sia comodo poi per definire la funzione \(r\) così da non stare a diventare matti, ma anche capire che è una convenzione lo ritengo importante, perché più in là, molto più in là, diventa importante rendersi conto che è solo una scelta arbitraria che si fa. Allora perché non spiegare questa cosa? L'argomentazione "si crede [...] sia troppo difficile per le zucche degli studenti" è un argomentazione che mi convince poco, nel senso che io non penso sia vero che sia troppo difficile spiegare che è solo un simbolo che per convenzione indica il numero \(1.4142...\).

[3m0o]

L'argomentazione "si crede [...] sia troppo difficile per le zucche degli studenti" è un argomentazione che mi convince poco, nel senso che io non penso sia vero che sia troppo difficile spiegare che è solo un simbolo che per convenzione indica il numero \( 1.4142... \).

Poi su questo punto potrei sbagliarmi, perché non possiedo le giuste conoscenze per esprimermi davvero! Quello che voglio dire, è perché se si ritiene che un concetto è troppo complicato delle volte capita che si sceglie comunque di spiegarlo, ma siccome è considerato "troppo" difficile per essere spiegato per com'è davvero allora si opta per insegnarlo in modo impreciso o improprio? E io mi chiedevo perché di questa scelta! Se si ritiene che un concetto è troppo complicato piuttosto è meglio non spiegarlo per nulla, ma richiederei comunque la medesima e la massima precisione e profondità ma per le cose alla portata. La mia domanda voleva arrivare qui penso.