Definizione di "decima parte"

[QTTR.VLR]

Buongiorno a tutti e buon anno!

Il tema che mi sono proposto è il seguente:
Nel contesto dei Numeri Decimali, è possibile definire la quantità 0.10 (ad esempio) senza fare ricorso alla somma o alla divisione?
Me lo chiedo perché, spesso, per il numero 0.10 vengono fornite le seguenti definizioni:

- Quella quantità che sommata 10 volte restituisce l'unità;
oppure
- Quella quantità ottenuta dividendo l'unità in 10 parti;

Si tratta però di definizioni che si appoggiano a delle operazioni.
A tal proposito vorrei quindi sottolineare come le operazioni aritmetiche, nella loro eccezione più generale, sono operazioni binarie nelle quali, partendo da almeno due numeri, detti «operandi», si ottiene un unico risultato (che è anch'esso un numero), dipendente dal tipo di operazione od «operatore» utilizzato.
Pertanto, in principio, un'operazione matematica è un meccanismo astratto per associare a due numeri (operandi) un terzo numero (risultato).
Ne consegue che il simbolo 0.10, coinvolto nelle operazioni di somma o divisione, può essere manipolato senza riuscire a conferire un reale senso di quantità al suo valore.

I numeri interi come 1,2,3,... possono essere definiti (correggetemi se sbaglio) a prescindere dalle operazioni che possono essere loro applicate. Stabilita cioè una unità (ad esempio 1 metro), il significato di 3 metri è univoco e rappresenta per tutti la stessa cosa (avere 3 metri).

Ma quanti sono 0.10 metri?
Siamo abituati a pensare che 0.10 metri sia quel segmento che, preso 10 volte, compone 1 metro.
Ragionando in questo modo, l'operazione di somma, di per sè astratta, va "d'accordo" con il nostro concetto, in quanto sommando 10 volte il numero 0,1 ci viene restituito 1 (in modo astratto ma comunque coerente per la nostra applicazione mentale).
Si tratta però di una interpretazione "soggettiva", in quanto potrei essere libero di associare al simbolo 0.10 m un segmento di 30 centimetri. Il problema che riscontrerei è che, sommando 10 volte la quantità 0.1 m, tale somma astratta mi restituisce 1 m, mentre io allineando dieci segmenti da 30 centimetri avrei ottenuto un segmento lungo 3 m. In altre parole, avrei associato alla quantità 0.10 m una grandezza che non può giovare dalle ordinarie operazioni matematiche, le quali nelle loro astrazioni restituirebbero delle grandezze non conformi ai miei risultati.

Ho quindi l'impressione che il concetto di decima parte dell'unità, centesima parte dell'unità, e così via sia labile in quanto fondato sulle operazioni (perlomeno quella di somma) e non basato su un concetto univoco e spontaneo come quello di unità. La decima parte va in tesa di volta in volta in modo proficuo sulla base del problema che affronto, ma questo priva la decima parte di un significato univoco.

Se una persona parla di 0.1 Kg, come facciamo ad essere certi che il suo concetto di "decima parte" del chilogrammo sia la medesima che possiedo io? L'operazione di somma, la quale prevede che prendendo 10 volte una massa da 0.1 Kg si ottiene 1 Kg, non fornisce in realtà alcuna indicazione sul fatto che la quantità corrispondente a 0.1 Kg debba essere intesa come quella massa che, presa 10 volte e posta su una bilancia, realizzi un peso pari a quello di 1 kg. Quest'ultima è infatti solo una possibile interpretazione "fisica".
Anche perché, in base alla grandezza fisica considerata, il concetto è mutevole:

Per misurare le masse uso una bilancia.
Per misurare un tempo uso un cronometro.
Per misurare una distanza uso un metro.

Di volta in volta il concetto di "decima parte" va "calzato" ad hoc affinché, nell'eseguire le astratte operazioni aritmetiche, si possa trarre un giovamento dai risultati. Ma, in generale, continuo a pensare che vi sia una labilità nella definizione di decima parte, in quanto fondata su una operazione matematica (la somma, perlomeno) non in grado di definire una quantità effettiva.

Per riassumere, se ho 1 unità di una certa grandezza, non ho problemi a concepirla.
Ma se ho 0.1 unità di una certa grandezza, sono costretto a rifarmi all'operazione astratta di somma definita per i numeri decimali, e associare a 0.1 quella quantità fisica che può andare d'accordo con i risultati restituiti dalla somma stessa. In altre parole ho la necessità di assegnare una interpretazione pratica, oggettiva, sulla base del mio problema, alla grandezza 0.1. Al contrario, l'unità non ne ha bisogno.

Per ultimo, ad esempio, nel caso in cui si descrive la quantità velocità come:

10 m / 0.1 s

come sappiamo che il significato che fu associato a 0.1 s al momento della misura del tempo è lo stesso che assoceremmo noi?
E nel rapporto 10/0.1 che eseguiamo per ottenere 100 m/s, qual'è il significato astratto del numero 0,1 rispetto al 10? Chi lo stabilisce, considerando che si tratta di una operazione tra due numeri astratti e non vi è una correlazione fisica in virtù delle diverse unità di misura?

Grazie mille a chiunque vorrà contribuire.

[gugo82]

Posso far notare che se usi metri e centimetri, già stai implicitamente assumendo di conoscere cos'è $0.1$?

[QTTR.VLR]

Si, proprio per aver calzato il numero 0.1 ad un corrispondente riscontro fisico, in questo caso in termini di segmenti. Il concetto implicito di cui parli è proprio ciò a cui mi riferisco.
Per esempio, il numero 1 va bene per descrivere un metro oppure una persona, e quindi è facile usare quel numero in chiave astratta. Il numero 0.1 va bene concepire la decima parte del metro per come siamo implicitamente abituati, ma la decima parte di una persona non ha senso. Ecco quindi che i decimali vanno sempre "contestualizzati" e questo rende le operazioni nell'anello dei razionali "concettualmente rischiose".

[gugo82]

Non credo di capire... Pensi che le operazioni abbiano senso solo se corrispondono a qualcosa di "reale"?

[QTTR.VLR]

Credo che i Campi numerici, con le loro operazioni, siano strutturati con delle regole che, seppure in principio asettiche, furono storicamente stabilite con il fine di servire a qualcosa. Quando mentalmente facciamo un conto con dei numeri razionali, seppure non ci riferiamo ad una unità di misura specifica, stiamo comunque accettando di compiere un ragionamento che trova riscontro valido in quei contesti dove sono coinvolte grandezze fisiche, economiche, ecc.
Per esempio, non contiamo le persone con numeri decimali, e non calcoliamo le lunghezze con numeri complessi. Bensì, per il primo caso tornano utili i numeri Naturali, per il secondo i Razionali (o più in generale i Reali). I campi numerici sono come delle "formine" che vanno fatte combaciare alla forma del problema in esame affinché ci assistano nel risolverlo.

Quello dei numeri razionali (intesi come numeri che possono essere del tipo 1,12 oppure 0,6 ecc.) portano con se il concetto di decima parte che, seppur accettato in chiave astratta, sottointende un significato che non trova sempre riscontro. La decima parte di una persona, per l'appunto, non ha senso. Allora accettiamo come decima parte quel qualcosa che nell'opportuno contesto, preso dieci volte, mi autorizza a considerare l'unità.

E forse in tutto questo mi sono risposto da solo

Tuttavia, restano alcuni casi "pratici" che trovo curiosi. Per esempio quando leggiamo una media di 7,5 studenti (quindi persone). Come si fa ad avere 7,5 studenti?
O ancora, una percentuale di 57.6% di persone. Che senso ha concepire 57.6 persone?

Questi sembrano contesti dove, partendo da un problema oggettivamente posto nel campo dei numeri Naturali (quantità di persone) ci si trasferisce nel campo dei Razionali "abusando" dei decimali laddove sembrerebbero non avere alcun senso. A mio avviso si compie questa scelta per una questione di comodità, in quanto simili medie e percentuali possono essere formalizzate soltanto con numeri razionali e quindi si accetta un compromesso in favore della sinteticità del valore ottenuto.
Nel complesso mi sembra comunque una questione della quale valga la pena discutere per motivi meramente filosofici e culturali.

[ghira]

Quello dei numeri razionali (intesi come numeri che possono essere del tipo 1,12 oppure 0,6 ecc.) portano con se il concetto di decima parte

Non direi proprio. $1/3$, $1/7$ , $5/17$ ecc. sono numeri razionali e la decima parte non c'entra nulla.

[gugo82]

Ah, quindi una cosa non ha senso in generale perché qualcuno la usa "a capocchia"... Credo sia una riflessione che non ha granché di riflettuto sotto.


P.S.: Se le persone sono quanti gli abitanti di una piccola città, diciamo 20000 (tipo Abano Terme, insomma), quante sono il 57.6%?

[QTTR.VLR]

Ah, quindi una cosa non ha senso in generale perché qualcuno la usa "a capocchia"... Credo sia una riflessione che non ha granché di riflettuto sotto.


P.S.: Se le persone sono quanti gli abitanti di una piccola città, diciamo 20000 (tipo Abano Terme, insomma), quante sono il 57.6%?

Ho visto tardi il tuo P.S., e sinceramente fino ad esso la tua risposta mi è sembrata davvero inutile e invadente, oltre che offensiva.

Ad ogni modo, la risposta è 11520, che è ragionevolmente un numero intero. Per l'appunto, esprimere una percentuale in questi casi, concependo 57,6 persone su 100, è una astrazione davvero non necessaria e concettualmente discutibile. Sarebbe più pragmatico dichiarare 576 persone su 1000. Che poi è l'approccio utilizzato sui gratta e vinci (informative del tipo "1 vincitore ogni 6740").

Se il problema fosse invece stato il 57,6% di 20000 metri, dichiarare 57,6 metri su 100 sarebbe stata una proporzione effettivamente sensata.

[gugo82]

Infatti $57.6%$ non significa "$57.6$ persone su $100$", ma significa $(57.6)/(100)$ (o $(576)/(1000)$, ossia $(144)/(250)$, oppure $(72)/(125)$ o anche $(5.76)/(10)$, come preferisci) della popolazione di riferimento.

Ma anche se la percentuale fosse riferita ad una popolazione che, facendo i calcoli, fornisce un risultato non intero di persone (ad esempio, una popolazione formata da $100$, oppure $50$ o anche $23$ persone), ci sarebbe sempre in ballo la faccenda delle approssimazioni.
Tanto per dirne una, l'altro giorno ho comprato una maglia che, a presso pieno, costava $24.99$ euro ma era in saldo al $25%$... E né io né il commesso ci siamo scomposti quando mi ha fatto pagare $18.74$ euro anziché $18.7425$ euro: sia io sia il commesso sapevamo che non si possono pagare millesimi di euro!


P.S.: Prima di sentirti offeso, ti raccomando sempre di leggere fino in fondo.
La suscettibilità non aiuta ad imparare.