Consigli libro di geometria per fisica

[Vincenzoboh]

Salve, vorrei che mi consigliaste un buon libro di geometria per il corso di fisica, vi prego il mio professore è un treno quando spiega e molto rigoroso, pertanto mi serve un libro completo ma chiaro. Lui ci ha consigliato Algebra lineare e geometria analitica di Pellegrini ma è introvabile.

Qui sotto ho riportato il programma, credo basti leggere i macro argomenti.


INTRODUZIONE: Richiami di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, differenza tra insiemi. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive, invertibili. Composizione di applicazioni. Relazioni definite su un insieme. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Congruenza modulo n. Operazioni definite su un insieme. Operazioni interne ed esterne. Generalità sulle strutture algebriche: struttura di gruppo, anello, campo. Isomorfismi tra gruppi. Esempi notevoli di campi: il campo razionale, il campo reale, il campo complesso. L’anello Zn degli interi modulo n. Esempi di campi finiti: campi di Galois di ordine primo (Zp) e costruzione del campo di Galois GF(4) a partire da GF(2). Permutazioni definite su un insieme finito. Inversioni. Permutazioni di classe pari, di classe dispari e segno di una permutazione. Il gruppo simmetrico Sn delle permutazioni su un insieme finito di cardinalità n.



SPAZI VETTORIALI: Definizione e proprietà elementari. Esempi notevoli di spazi vettoriali: spazio dei vettori numerici di ordine n su un campo, spazio vettoriale delle matrici di un dato tipo, spazio vettoriale geometrico, spazio dei polinomi in una indeterminata, spazio delle funzioni reali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazio vettoriale generato da un sistema di vettori. Sistemi di generatori. Lemma di Steinitz. Basi e dimensione. Ogni spazio vettoriale non nullo possiede basi. Metodi per determinare una base: a partire da un sistema di generatori e a partire da un sistema linearmente indipendente. Esempi notevoli di basi di spazi vettoriali finitamente generati. Esempi di basi infinite nello spazio dei polinomi K[x] e nello spazio delle funzioni reali quasi ovunque nulle. Intersezione e somma di sottospazi. Condizione affinché l’unione di due sottospazi sia un sottospazio. Somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann.



MATRICI: Matrici su un campo. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate, diagonali, simmetriche, antisimmetriche. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne. L’anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo K. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà elementari dei determinanti (senza dimostrazione). Regola di Sarrus. Complemento algebrico. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Matrici e trasformazioni geometriche notevoli del piano: matrice associata a una rotazione attorno all’origine e matrice associata a una riflessione rispetto ad un asse passante per l’origine. Matrici invertibili. Matrici ortogonali, matrici unitarie. Esempi di gruppi classici: il gruppo lineare GL(n,K) delle matrici invertibili, il gruppo lineare speciale SL(n,K), il gruppo ortogonale O(n,K), il gruppo ortogonale speciale SO(n,K), il gruppo unitario U(n), il gruppo unitario speciale SU(n). Struttura del gruppo O(2,R): in particolare tale gruppo è formato dalle rotazioni di un piano attorno all’origine e dalle riflessioni rispetto a un asse passante per l’origine. Il gruppo SU(2) interpretato come la sfera unitaria in uno spazio a quattro dimensioni. Isomorfismo tra i gruppi U(1) e SO(2, R). Aggiunta di una matrice. Condizione affinché una matrice sia invertibile. Calcolo dell'inversa di una matrice invertibile. I sottospazi generati dalle righe e dalle colonne di una matrice hanno la stessa dimensione. Rango di una matrice. Minori estratti da una matrice. Teorema degli orlati. Calcolo del rango di una matrice. Lo spazio vettoriale Mn(R) è somma diretta dei sottospazi delle matrici simmetriche e delle matrici antisimmetriche. Traccia di una matrice e sue proprietà. Spazio vettoriale delle matrici a traccia nulla. Commutatore di due matrici.



SISTEMI LINEARI; Rappresentazione matriciale e vettoriale di un sistema lineare. Sistemi lineari compatibili. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di unicità. Teorema di Cramer. Sistema principale equivalente. Risoluzione dei sistemi lineari. Sistemi lineari omogenei. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Relazione tra le soluzioni di un sistema lineare compatibile e le soluzioni del sistema omogeneo ad esso associato. Rappresentazione cartesiana di sottospazi di Kn.



APPLICAZIONI LINEARI Definizione e proprietà. Applicazioni lineari notevoli. Applicazione lineare associata a una matrice di tipo mxn. Composizione di applicazioni lineari. L’inversa di un’applicazione lineare (invertibile) è lineare. Riferimenti di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore rispetto a un riferimento. Isomorfismi. Isomorfismo coordinato associato a un riferimento. Automorfismi. Il gruppo GL(V) degli automorfismi di uno spazio vettoriale V. Isomorfismo naturale tra i gruppi GL(V) e GL(n,K). Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Ogni applicazione lineare conserva la dipendenza lineare. Le applicazioni lineari iniettive conservano l’indipendenza lineare. Le applicazioni lineari suriettive conservano i sistemi di generatori. Teorema delle dimensioni. Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione lineare. Rappresentazione di un’applicazione lineare. Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari. Matrici simili. Matrice e formule del cambiamento di riferimento.



ENDOMORFISMI: Matrici associate a un endomorfismo al variare del riferimento. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Rappresentazione degli autospazi di un endomorfismo mediante sistemi lineari omogenei. Endomorfismi diagonalizzabili. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità di un endomorfismo. Polinomio caratteristico di un endomorfismo e ricerca degli autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e relazione tra esse. Autospazi corrispondenti ad autovalori distinti sono sommandi diretti. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili. Diagonalizzabilità simultanea di due endomorfismi (endomorfismi diagonalizzabili che commutano).



SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI: Forme bilineari e forme hermitiane. Forme bilineari simmetriche (prodotti scalari). Prodotti scalari definiti positivi. Spazi vettoriali euclidei. Modulo (o norma) di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Versori. Ortogonalità tra vettori. Basi ortogonali e ortonormali. Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili. Endomorfismi simmetrici. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo simmetrico ha tutte le radici nel campo reale. Caratterizzazione degli endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili. Il gruppo delle omotetie di uno spazio vettoriale euclideo. Isometrie di uno spazio vettoriale euclideo. Isometrie e matrici ortogonali. Il gruppo O(V) delle isometrie di uno spazio vettoriale euclideo V. Isomorfismo naturale tra il gruppo O(V) e il gruppo ortogonale O(n,R).



GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO E NELLO SPAZIO: Piani affini euclidei e spazi affini euclidei. Definizione di rette e piani. Riferimento cartesiano monometrico ortogonale di un piano e di uno spazio affine euclideo. Coordinate di un punto rispetto a un riferimento. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta in un piano affine euclideo. Numeri direttori di una retta. Fasci propri e impropri di rette. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità tra rette. Punto medio di un segmento. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Rappresentazione cartesiana di un piano in uno spazio affine euclideo. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità tra due piani. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità tra rette nello spazio. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità tra una retta e un piano. Fasci di piani. Condizione affinché tre piani appartengano a un fascio. Rette complanari e rette sghembe. Condizione affinché due rette siano complanari oppure siano sghembe.



PIANI PROIETTIVI Ampliamento proiettivo di un piano affine euclideo. Piano proiettivo reale. Coordinate omogenee di un punto. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta in un piano proiettivo. Ampliamento complesso di un piano proiettivo reale. Vettori isotropi, rette isotrope. Piani proiettivi su un campo K. Piano proiettivo sul campo GF(2) (piano di Fano).



CONICHE NEL PIANO PROIETTIVO COMPLESSO: Definizione di conica in un piano proiettivo complesso. Coniche riducibili o degeneri. Intersezione di una conica con una retta. Punti semplici e punti doppi di una conica. Determinazione dei punti doppi di una conica. Coniche non degeneri. Retta tangente a una conica in un suo punto semplice. Polarità associata a una conica non degenere. Proprietà della polarità. Coniche reali. Intersezione tra una conica reale e una retta reale. Coniche reali degeneri. Classificazione affine delle coniche reali non degeneri: ellissi, parabole, iperboli. Circonferenze nel piano proiettivo complesso. Punti ciclici del piano. Relazione tra i punti ciclici e i vettori isotropi. Condizione affinché una conica reale non degenere sia una circonferenza. Condizione affinché una conica reale non degenere sia priva di punti reali. Centro, centro di simmetria, assi di simmetria, diametri, asintoti, fuochi di una conica reale non degenere.