Carica e dipolo rigido davanti a piano conduttore collegato a terra

[Cosmoi]

Salve a tutti!
Ho qualche dubbio su come ho svolto questo esercizio e vi chiederei di segnalarmi qualsiasi eventuale errore. Grazie in anticipo!

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(a)
Per determinare il campo elettrico lungo l'asse x, ho applicato il metodo delle cariche immagine, dal quale ricavare prima il potenziale totale \(\displaystyle V \) di tale configurazione e da questo il campo elettrico richiesto. Rispetto all'asse \(\displaystyle y \) pongo quindi una seconda carica \(\displaystyle Q' = -Q \), simmetrica rispetto a \(\displaystyle Q \), di modo che il potenziale generato da queste due cariche nella posizione occupata dal piano dia come potenziale totale un potenziale nullo. Considerando un sistema di assi cartesiani \(\displaystyle xy \) come in figura, il potenziale totale generato dalle due cariche in un punto qualsiasi dello spazio \(\displaystyle P = (x;y) \) è dato da:

\(\displaystyle V(x;y) = {Q\over 4\pi \epsilon_{0}}[{1 \over ((x+2d)^{2} + y^{2})} - {1 \over ((x-2d)^{2} + y^{2})}] \)

Da questa espressione, secondo la relazione \(\displaystyle \overline{E} = -\overline{\bigtriangledown}(V) \), ricavo l'espressione della componente lungo \(\displaystyle x \) del campo \(\displaystyle \overline{E} \):

\(\displaystyle E_{x} = -{\partial \over \partial x}(V) = {Q \over 4\pi \epsilon_{0}}[{(x+2d) \over ((x+2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}} - {(x-2d) \over ((x-2d)^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)

(b)
Per la determinazione della densità di carica indotta sul piano conduttore, che sarà una densità di carica superficiale, teniamo di conto del teorema di Coulomb:

\(\displaystyle \overline{E} = {\sigma \over \epsilon_{0}}\hat{n} \)

Nel nostro caso, la densità di carica superficiale indotta sarà espressa dalla relazione:

\(\displaystyle \sigma(x;y) = -\epsilon_{0} E_{0x} \)

dove \(\displaystyle E_{0x} \) è il valore del campo elettrico sul piano conduttore:

\(\displaystyle E_{0x} = {Q \over \pi \epsilon_{0}} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}]\)

Otteniamo allora che la densità di carica indotta superficiale è data da:

\(\displaystyle \sigma(0;y) ={Q \over \pi} [ {d \over (4d^{2} + y^{2})^{{3\over 2}}}] \)

Nell'origine O del sistema sarà invece:

\(\displaystyle \sigma(0;0) = {Q \over \pi}{1 \over 4d^{2}} \)

(c)
Ricordiamo anzitutto le espressioni del momento risultante e della forza risultante su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno:

\(\displaystyle \overline{F} = -\overline{\bigtriangledown}(\overline{E} \cdot \overline{p}) \)
\(\displaystyle \overline{M} = -\overline{E} \times \overline{p} \)

Poichè il dipolo elettrico si trova vincolato sull'asse x, su di esso agisce il campo elettrico \(\displaystyle \overline{E} = \overline{E_{x}} \) e possiamo riscrivere così le relazioni precedenti:

\(\displaystyle F = -|\overline{p}|\cos{\theta}{\partial \over \partial x}(E_{x}) \)
\(\displaystyle M = -E_{x}|\overline{p}|\sin{\theta} \)

Senza stare a svolgere i calcoli, per determinare poi il valore esplicito della forza e del momento sostituisco alla \(\displaystyle x \) la coordinata del dipolo, ossia \(\displaystyle d \).

Ho/sto sbagliando qualcosa? Grazie davvero per l'aiuto!

[RenzoDF]

Qualche errorino/typo mi sembra di vederlo nei tuoi passaggi, non hai però considerato che anche il dipolo si "specchia" in quel piano.

[Cosmoi]

Ok, ti ringrazio. Quali sono gli errori che ho commesso? A parte il non considerare il contributo al campo elettrico dato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore. Inoltre per determinare appunto il contributo di quest'ultimo punto, si applica di nuovo il metodo delle cariche immagine?

[RenzoDF]

Beh, mi sembra che: manchi una radice a denominatore per il potenziale, manchi la coordinata z nella relazione della densità di carica per il piano, ci sia una errata semplificazione per la densità di carica nell'origine.

Sì, anche per il dipolo si può usare il metodo delle immagini.

[Cosmoi]

Ok, allora correggendo le parti che presentavano degli errori:

\(\displaystyle V(x;y;z) = {Q \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{1 \over [(x+2d)^{2} + y^{2} +z^{2}]^{{1\over 2}}} - {1 \over [(x-2d)^{2} +y^{2} + z^{2}]^{{1 \over 2}}}] \) è il potenziale elettrico.

\(\displaystyle E_{0x} = {Qd \over \pi \epsilon_{0} [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) è il campo elettrico sul piano conduttore.

\(\displaystyle \sigma(0; y; z) =- {Qd \over \pi [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore.

\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 4\pi d^{2}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore nell'origine.

Ora dobbiamo determinare la forza risultante ed il momento risultante sul dipolo elettrico posto sull'asse x. Dobbiamo considerare che oltre al campo elettrico precedentemente calcolato tramite il metodo delle cariche immagine, dobbiamo sommare il contributo dato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore: anche tale contributo può essere determinato tramite il metodo delle cariche immagine. Supponiamo quindi di avere un dipolo immagine \(\displaystyle p' \) posto a distanza \(\displaystyle -d \) lungo l'asse x dall'origine. Il campo elettrico generato in un generico punto P dello spazio da un dipolo elettrico vale:

\(\displaystyle E(r) = {1 \over 4 \pi \epsilon_{0}}[ {3 (r-r_{p}) p \cdot (r-r_{p}) \over |r-r_{p}|^{5}} - {p \over |r-r_{p}|^{3}}]\)

Sappiamo inoltre che le componenti del campo elettrico generato da un dipolo, a partire dall'espressione del potenziale, in un punto qualsisi sono:

\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)
\(\displaystyle E_{0x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3xz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{3yz \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)
\(\displaystyle E_{0z} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{2z^{2} -x^{2} - y^{2} \over (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } \)

Rispetto al sistema di riferimento considerato, otteniamo le seguenti espressioni per il potenziale totale e per il campo elettrico generato dallo "specchiarsi" del dipolo sul piano conduttore:

\(\displaystyle V_{0}(x;y;z) = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} - {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}{z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{3\over 2}}} \)

\(\displaystyle E_{x} = -{\partial V_{0} \over \partial x} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3(x+d)z \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3(x-d)z \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{y} = -{\partial V_{0} \over \partial y} = {p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{3yz \over ((x+d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}}} - {3yz \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } ] \)
\(\displaystyle E_{z} = -{\partial V_{0} \over \partial z} ={p \over 4 \pi \epsilon_{0}}[{(x+d)^{2} +y^{2} -2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5\over 2}} } -{(x-d)^{2} + y^{2} - 2z^{2} \over ((x-d)^{2} + y^{2} + z^{2})^{{5 \over 2}}} ]\)

Le componenti ottenute sono quelle del campo elettrico generato dallo specchiarsi del dipolo sul piano conduttore, tale contributo va infatti sommato al campo elettrico precedentemente calcolato per ottenere il campo elettrico totale di tale configurazione. Poichè il dipolo è posto lungo l'asse x e vincolato su di essa, il campo elettrico totale agente sul dipo avrà solo componente lungo x.

Giusto?

[RenzoDF]

Da un veloce controllo, mi sembra di continuare a vedere l'errore nella densità di carica nell'origine, mentre nella determinazione del campo mi sarei atteso di veder comparire l'angolo $\theta$, ad ogni modo ho provato anch'io a determinare il campo relativo al contributo del dipolo specchiato $\vec p_s$ a partire dalla relazione da te indicata, ma in forma liofilizzata

$\vec E =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{3 (\vec p_s\cdot \hat r)\ \hat r-\vec p_s}{r^3} $

il calcolo lo ho fatto in velocità e quindi lascio a te controllare, ma il risultato ottenuto per il campo nel punto P, posizione del dipolo "reale" è il seguente

$\vec E(P)=\frac{p}{32\pi \epsilon_0 d^3}( 2 \cos(\theta) \ \hat x - \sin(\theta)\ \hat y)$

PS Che dovrebbe portare al seguente contributo per il momento

$\vec M_{p} =\vec p \times \vec E=\frac{p^2}{64\pi \epsilon_0 d^3} \sin(2\theta)\ \hat z $

[Cosmoi]

Perdonami, mi ero dimenticato di una potenza, la densità di carica indotta nell'origine è:

\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 64 \pi d^{2}} \)

Per quanto riguarda il dipolo elettrico, usando il metodo delle cariche immagini, non dovremmo avere un campo elettrico così espresso:

\(\displaystyle \overline{E} = {1\over 4\pi \epsilon_{0}} {3(\overline{p} \cdot \hat{r})\hat{r} - \overline{p} \over r^{3}} + {1 \over 4\pi \epsilon_{0}}{3(\overline{p}' \cdot \hat{r}')\hat{r}' - \overline{p}' \over r'^{3}}\)

con \(\displaystyle \overline{r}=(d;0;0) \) e \(\displaystyle \overline{r'} =(-d;0;0)\), e \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \). Ossia che sia il risultato del dipolo reale e del dipolo immagine?

[RenzoDF]

Perdonami, non vedo l'errore nella determinazione della densità di carica nell'origine. ....

Sto facendo riferimento al seguente passaggio

... \(\displaystyle \sigma(0; y; z) =- {Qd \over \pi [4d^{2} + y^{2} + z^{2}]^{{3 \over 2}}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore.

\(\displaystyle \sigma(0;0;0) = -{Q \over 4\pi d^{2}} \) la densità di carica indotta sul piano conduttore nell'origine. ...

non dirmi che non lo vedi.

... Per quanto riguarda il dipolo elettrico, usando il metodo delle cariche immagini, non dovremmo avere un campo elettrico così espresso: ... Ossia che sia il risultato del dipolo reale e del dipolo immagine?

Certo che sì, io sto per il momento considerando il campo nel punto particolare (P) dove è posizionato il dipolo reale.

... con \(\displaystyle \overline{r}=(d;0;0) \) e \(\displaystyle \overline{r'} =(-d;0;0)\), ...

Eh no! ... se vai a considerare il generico punto del piano, quei vettori $r$ corrispondono ai vettori che congiungono i punti di posizionamento dei dipoli con il generico punto del piano di coordinate (0,y,z),
... e non è nemmeno vero che

\(\overline{p}'=-\overline{p} \).

[Cosmoi]

Allora vorrei riuscire a capire come ragionare con questo metodo delle immagini con un dipolo elettrico ocme in questo caso. Anzitutto come faccio a determinare come è fatto il dipolo immagine, se non vale la relazione \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \)? E soprattutto non capisco allora come si fa ad ottenere l'espressione del campo a partire da quella "liofilizzata"

[RenzoDF]

... come faccio a determinare come è fatto il dipolo immagine, se non vale la relazione \(\displaystyle \overline{p}'=-\overline{p} \)?...

Lo determini con lo stesso metodo che usi per la singola carica.

... fatti un disegno e lo scopri subito.

Ovvero, se ti guardi allo specchio, ... non ti vedi la schiena.

... E soprattutto non capisco allora come si fa ad ottenere l'espressione del campo a partire da quella "liofilizzata"

Devi deliofilizzarla.

... e se dai un occhio ai tuoi post, la trovi già scritta.