Deduzione euristica della funzione di Gauss

[TS778LB]

Partendo dall’ipotesi che la distribuzione $ f(z) $ degli errori casuali $ z $, commessi nel campionamento di una variabile casuale continua $ x $ , debbano essere distribuiti simmetricamente intorno al valore $ z=0 $ e che in tal punto si abbia un massimo di $ f(z) $ e che tale funzione tenda a 0 per $ z->\pm\infty $, si utilizza come prototipo di $ f(z) $ una funzione tale che:
$ \frac{df(z)}{dz}=zf(z) $
In questa relazione riesco a comprendere che la derivata si annulla per $ z=0 $ (massimo) ma non riesco a capire come siano inclusi in tale condizione il comportamento di f per z che tende ad infinito e la simmetria rispetto all’origine

[gugo82]

Beh, si tratta di fare un po' di studio qualitativo della soluzione.

Permettimi di cambiare il nome delle variabili: denotando con $x$ quella indipendente e con $y$ quella dipendente, la EDO si riscrive:

$y^\prime (x) = x y(x)$.

Da qui si vede che qualcosa non funziona.
Infatti il secondo membro, $f(x,y)=xy$, è positivo nel primo e nel terzo quadrante, negativo nel secondo e nel quarto, e nullo sugli assi, dunque le soluzioni della EDO sono strettamente crescenti [risp. decrescenti] non appena i loro grafici cadono nel primo o terzo [risp. secondo o quarto] quadrante ed hanno punti stazionari lì dove i grafici toccano gli assi.
Ma questo non è il comportamento della gaussiana... Quindi c'è un errore nella EDO. Quale?


Hint: Attenzione ai segni...

[TS778LB]

$ y'(x)=-xy(x) $
Così la soluzione è crescente nel secondo quadrante e decrescente nel primo. Giusto? Però non capisco come facciamo a fare questi ragionamenti se prima non conosciamo $ y(x) $. Guardando al secondo membro come ad una funzione di due variabili, la derivata si annullerebbe su tutto l'asse y....

[TS778LB]

Saresti così gentile da spiegarmi come si effettua lo studio qualitativo che hai utilizzato? Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Ah, ecco...

Il problema dello studio qualitativo delle soluzioni è che devi conoscere discretamente bene la teoria delle EDO.

Vediamo un po' cosa si può dire delle soluzioni di:

(G) $y^\prime (x) = - x * y(x)$.

1. Esistenza ed unicità delle soluzioni globali.

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Visto che il secondo membro della EDO, $f(x,y)=- x * y$, è una funzione definita in $Omega := RR^2$ ed ivi di classe $C^oo$ e lineare in $y$, il teorema di esistenza ed unicità globale delle soluzioni al problema di Cauchy per le EDO lineari ti assicura che comunque scegli un punto $(x_0,y_0) in Omega$ esiste un'unica soluzione massimale $y(x) = y(x;x_0,y_0)$ del PdC:

$\{ (y^\prime (x) = - x * y(x)), (y(x_0) = y_0):}$

che è anche globale, ossia definita in tutto $RR$.

2. Regolarità delle soluzioni globali.

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Per noti risultati di regolarità, ogni soluzione globale è di classe $C^oo(RR)$ ed, anzi, visto che $f(x,y)$ è analitica, anche le soluzioni globali della EDO sono analitiche in $RR$.

3. Soluzioni stazionarie.

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Visto che $f(x,0) =0$ per ogni $x in RR$, la funzione $y^** (x) =0$ è una soluzione globale di (G) e, per unicità, è l'unica a soddisfare ogni PdC con punto iniziale del tipo $(x_0,0)$.

4. Segno delle soluzioni globali.

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Lo stesso argomento di cui sopra, cioè l'unicità globale della soluzione del PdC, assicura che ogni altra soluzione globale di (G) ha grafico che non interseca quello di $y^**(x)$, il quale coincide con l'asse delle ascisse; per questo motivo, ogni altra soluzione globale della EDO assegnata o è ovunque positiva o ovunque negativa, i.e. o si ha $y(x) > 0$ per ogni $x in RR$ oppure $y(x) < 0$ per ogni $x in RR$.

5. Monotonia.

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Il secondo membro della EDO è positivo [risp. negativo, nullo] nel secondo e quarto quadrante [risp. primo e terzo quadrante, sugli assi], i.e.:

$f(x,y) > 0 <=> (x,y) in Omega^+ := \{x > 0, y <0\} uu \{x <0, y >0\}$

$f(x,y) < 0 <=> (x,y) in Omega^(-) := \{x > 0, y > 0\} uu \{ x <0, y < 0\}$

$f(x,y) = 0 <=> (x,y) in Omega^0 := \{x = 0\} uu \{ y = 0\}$.

Da ciò segue che ogni soluzione globale $y(x)$ positiva è strettamente crescente in $]-oo, 0]$ e strettamente decrescente in $[0,+oo[$, quindi prende massimo assoluto in $0$.
Analogamente, ogni soluzione globale $y(x)$ che sia negativa è strettamente decrescente in $]-oo, 0]$ e strettamente crescente in $[0,+oo[$, assumendo valore minimo in $0$.

6. Convessità.

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Derivando m.a.m. la EDO troviamo:

$y^{\prime \prime}(x) = -y(x) - x y^\prime(x) = - y(x) + x^2 y(x)$,

ossia:

$y^{\prime \prime}(x) = (x^2 - 1) y(x)$.

Il secondo membro è positivo in $Omega^uu := \{ x<-1 vv x > 1, y >0\} uu \{ -1<x<1, y<0\}$, nullo in $Omega^= := \{ x=+-1\} uu \{ y=0\}$ e negativo in $Omega^nn := \{ x<-1 vv x > 1, y < 0\} uu \{ -1<x<1, y > 0\}$.
Da ciò segue che le soluzioni globali positive sono convesse [risp. concave] in $]-oo, -1]$ ed in $[1,+oo[$ [risp. in $[-1,1]$] e che i loro grafici hanno punti di flesso d'ascisse $+-1$. Viceversa, le soluzioni globali negative sono concave [risp. convesse] in $]-oo, -1]$ ed in $[1,+oo[$ [risp. in $[-1,1]$] e che i loro grafici hanno punti di flesso d'ascisse $+-1$.

7. Limitatezza, asintoti ed altre amenità.

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Vista la monotonia delle soluzioni, per le soluzioni globali positive valgono le disuguaglianze $0< y(x) <= y(0) =: M$.
Le soluzioni positive sono limitate e, di nuovo per monotonia, esistono finiti i limiti $lim_(x -> +-oo) y(x) = l^(+-)$. I valori $l^(+-)$ soddisfano le disuguaglianze $0<= l^(+-) < M$.
Visto che le soluzioni globali positive sono anche convesse intorno a $+-oo$, esistono entrambi i limiti $lim_(x -> +-oo) y^\prime (x)$ ed il cosiddetto teorema dell'asintoto garantisce che entrambi tali limiti siano nulli.
Dato che $lim_(x -> +-oo) y^\prime (x) = lim_(x -> +-oo) -x y(x)$, l'unica chance che ha il primo membro di esser nullo è che anche $l^(+-) = lim_(x->+-oo) y(x)= 0$; pertanto, il grafico di $y(x)$ presenta a sinistra ed a destra asintoto orizzontale di equazione $y=0$ (asse delle ascisse, che coincide col grafico della soluzione stazionaria $y^**$).¹
Lo stesso discorso si ripete parola per parola per le soluzioni globali negative.

Infine, scelta una soluzione globale $y(x)$ e detto $y_0 := y(0)$, consideriamo la funzione:

$eta(x) := y(-x)$;

tale funzione è derivabile e risulta:

$eta^\prime (x) = - y^\prime (-x) = -[-(-x) y(-x)] = -x eta(x)$

per ogni $x in RR$ (per passare dal 2° al 3° membro ho usato la EDO (G soddisfatta da $y(x)$), nonché $eta(0) = y(0) = y_0$; conseguentemente, $eta$ risolve lo stesso PdC di cui $y$ è soluzione globale e, per unicità, da ciò segue che $eta(x) = y(x)$, ossia $y(-x) = y(x)$. Quindi $y(x)$ è funzione pari.

Detto ciò, hai mostrato che ogni soluzione globale positiva ha tutte le proprietà qualitative della gaussiana centrata in $0$ senza conoscerne la legge di assegnazione, ma sfruttando unicamente la EDO che essa soddisfa.

Chiaro è che, in questo caso, sarebbe più semplice risolvere esplicitamente la EDO (il cui integrale generale è $y(x;C) := C e^{- x^2/2}$) per ricavare le stesse informazioni con meno sforzo.

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Note

1. Stessimo studiando un sistema dinamico, diremmo che $y^**$ è attrattiva... ↑