Oscillazione e uniforme continuità

[marco2132k]

Se \( X \) è uno spazio topologico, \( x_0\in X \) è un punto di accumulazione, e \( (Y,d_Y) \) è uno spazio metrico, l'oscillazione di una funzione \( f\colon X\setminus \{x_0\}\to Y \) nel punto \( x_0 \) è la quantità \( \omega(f,x_0) \) definita come
\[
\omega(f,x_0) = \inf\{\operatorname{diam}_Yf(V\setminus\{x_0\}) : \text{$ V $ intorno di $ x_0 $}\}
\] dove \( \operatorname{diam}_Y B := \sup\{d_Y(x,y) : x,y\in B\} \) per ogni \( B\subset Y \).

Avete da consigliarmi qualche (capitolo di un) libro/pdf/sito dove io possa leggere di più in merito a oscillazione, uniforme continuità, moduli di continuità di funzioni, criteri di convergenza di Cauchy generalizzati, ecc.? Mi sa che il De Marco 1 ha qualcosa in un appendice, ma se conoscete altro accetto (molto) volentieri.

[ghira]

Avete da consigliarmi qualche (capitolo di un) libro/pdf/sito dove io possa leggere di più in merito a oscillazione, uniforme continuità, moduli di continuità di funzioni, criteri di convergenza di Cauchy generalizzati, ecc.? Mi sa che il De Marco 1 ha qualcosa in un appendice, ma se conoscete altro accetto (molto) volentieri.

Oscillazione non so ma ho trovato https://www.cambridge.org/gb/academic/s ... 0521358682 relativamente comprensibile.

[marco2132k]

Sono qui. L'ho guardato ma non credo ci sia proprio quello che cerco.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ad esempio: se si definisce l'oscillazione di \( f \) come sopra, tu sapevi che (sotto ipotesi giuste) vale un "criterio di Cauchy" per l'esistenza dei limiti di funzioni? Se \( f\colon E\to E^\prime \) è una funzione di uno spazio metrico \( E \) in uno spazio metrico \( E^\prime \), ed \( E^\prime \) è anche completo, allora affinché esista il limite di \( f \) in un punto non isolato \( x_0 \) di \( E \) è sufficiente che, per ogni \( \epsilon > 0 \), esista un \( \delta > 0 \) tale che per ogni \( x,y\in B(x_0,\delta)\setminus \{x_0\} \) sia \( d(f(x),f(y)) <\epsilon \). Quest'ultima richiesta è equivalente a chiedere che \( \omega(f,x_0) = 0 \).

Oppure, c'è qualche legame tra lipschitzianità, uniforme continuità e oscillazione? Eccetera.

[gabriella127]

Ciao Marco, ho trovato alcuni riferimenti all'oscillazione di una funzione in due libri di analisi reale un po' a mattonata, libri molto lunghi.

Uno è Knapp, Real Analysis. E' fatto di due volumi, Basic Real Analysis e Advanced Real Analysis.
Ho trovato in Basic Real Analysis alcune parti, ad esempio nel contesto del teorema di Baire delle categorie, o dell'integrazione secondo Riemann, dove parla brevemente di oscillazione, e anche di oscillazione e continuità, ad esempio parla, in un esercizio, di un teorema che dice che una funzione è continua se e solo se l'oscillazione è $0$ e cose simili.

L'altro è Yeh, Real Analysis. Questo ha una appendice che si chiama 'Funzioni a oscillazione limitata', in cui parla di oscillazione di una funzione, di oscillazione limitata e variazione limitata, anche del rapporto con la continuità. C'è anche un teorema che lega misurabilità e oscillazione limitata.

Questo a un rapido sguardo. Se ti interessa saperne di più leggo un po' di più che dicono.

[marco2132k]

Grazie! Li ho guardati entrambi (sul Knapp c'è comunque un sacco di roba e me lo segno, magari mi torna utile).

[gabriella127]

Figurati. Infatti, Knapp non è un libro su cui studiare, ma da tenere tipo enciclopedia di consultazione, perché c'è un sacco di roba di tutto.