topologia algebrica

[ElementareWatson]

non sapevo se inserirlo in generale o qui dato che la mia domanda è doppia, volevo sapere:

1) quando e perchè, si studia topologia algebrica?
2) vedendo su internet molti dicono che l´Hatcher che si può scaricare gratis dal sito della cornell sia un buon libro, altri invece come al solito dicono di no, mi chiedo secondo voi quale è un buon libro per iniziare e per mettere un punto quando si finisce? cioè che sia introduttivo e completo allo stesso tempo.

[megas_archon]

Non capisco cosa significa la prima domanda, vuoi una risposta su cosa studia, diversa da quella che puoi trovare su Google? O ti interessa qualcosa di diverso?

[ElementareWatson]

Quelli che hanno studiato quella materia quando hanno dovuto farlo? Per quali settori della matematica è un prerequisito importante?

La domanda nasce perché sto studiando algebra analisi e geometria, di algebra ho un continuo in mente come pure di analisi, come continuo di geometria avevo pensato a topologia generale. Cercando un libro di topologia mi sono imbattuto nella materia topologia algebrica, e mi sono posto la domanda.

[megas_archon]

https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 176-4907-4 questo è un libro scritto molto bene, che dà una prospettiva storica sulla disciplina; io però non penso sia veramente quel che vuoi sapere quando chiedi "quelli che hanno studiato quella materia quando hanno dovuto farlo?"

Per quanto riguarda "Per quali settori della matematica è un prerequisito importante?", direi circa tutti, l'ho vista usare -in varie declinazioni- un po' dappertutto, dall'analisi alla logica... Il fatto è che la sua figlia diretta, la teoria dell'omotopia, più che una parte di matematica è una maniera di farla. (Non è un caso che questa proprietà sia goduta anche dalla teoria delle categorie.)

Poincaré, che della topologia algebrica fu l'inventore, scrisse che "Toutes les voies diverses où je m’étais engagé successivement me conduisaient à l’Analysis Situs." (letteralmente, tutte i percorsi in cui mi sono impegnato mi portarono a [inventare] l'Analysis situs" (la topologia algebrica, di cui "analysis situs" era il nome preistorico)

[ElementareWatson]

io però non penso sia veramente quel che vuoi sapere quando chiedi "quelli che hanno studiato quella materia quando hanno dovuto farlo?"

Si, ci hai visto giusto, quello a cui mi riferivo è proprio al momento in cui si deve affrontare lo studio di quella materia, così come per l’analisi di base che si fa subito o la geometria di base. Ma per esempio la logica c’è chi non la vede mai a quanto ho capito, per la topologia algebrica invece non so.

Per esempio io che non conosco ancora niente di matematica ma che per desiderio vorrei comprendere la teoria dei numeri in ogni sua parte (so che è un obiettivo troppo ambizioso, ma non pretendo di saper lavorarci su, ma solo di comprendere la teoria che ci sta sotto dal punto di vista analitico algebrico e geometrico che sono i 3 cardini della matematica perché mi affascina), mi chiedo mi servirà? Quando? Cosa devo studiare prima e in che direzione mi manderà?

[megas_archon]

Se ti interessa la teoria dei numeri ci sono molte ragioni per imparare la topologia algebrica, sì.
https://www.cambridge.org/core/books/ga ... 045D9C1F89
http://archive.numdam.org/item/ASENS_1973_4_6_4_521_0/
https://arxiv.org/abs/0904.3399v1
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/ ... tures1.pdf
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Elliptic-I.pdf
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Elliptic-II.pdf
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/ModpRH.pdf
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/ ... ridged.pdf
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/tamagawa.pdf

[ElementareWatson]

Se ti interessa la teoria dei numeri ci sono molte ragioni per imparare la topologia algebrica, sì.

perfetto, quando ritieni sia opportuno iniziare a studiarla? Subito dopo aver finito topologia generale?

[megas_archon]

Se ti interessa la teoria dei numeri ci sono molte ragioni per imparare la topologia algebrica, sì.

perfetto, quando ritieni sia opportuno iniziare a studiarla? Subito dopo aver finito topologia generale?

Non è una domanda semplice: certamente, nella sua formulazione "classica", la topologia algebrica ha bisogno di alcune nozioni di topologia generale, ma solitamente nei libri moderni si tende ad seguire una sistematizzazione più sintetica (as opposed to "analitica", cioè che rivolge attenzione alla point-set topology sottostante). Il mio consiglio è di evitare libri troppo vecchi; Hatcher è relativamente moderno ma ha una filosofia che non riesco a trovare accattivante. Di converso, il mio libro preferito è "Modern Classical Homotopy Theory", l'unico libro che finora ho visto che non contiene dimostrazioni.

Il fatto, però, è che la maniera migliore di imparare la topologia algebrica è consultare 4-5 libri allo stesso tempo, seguendo un programma di massima che è circa lo stesso qualsiasi siano le tue motivazioni:

- alcuni richiami di topologia generale, con particolare accento sulle proprietà di base della compattezza, della connessione, e sul lemma di numeri di Lebesgue;
- la nozione di complesso cellulare (aka complesso di celle o CW-complesso);
- la nozione di omotopia tra mappe continue e la definizione di gruppo fondamentale;
- il teorema fondamentale della teoria dei gruppi fondamentali, \(\pi_1(S^1)=\mathbb Z\);
- costruzione della sospensione, sospensione ridotta e spazio dei lacci di $X$; corollario: le sfere sono semplicemente connesse;
- rivestimenti universali e teoria di Galois dei rivestimenti, rivestimenti abeliani, monodromia;
- spazi di Eilenberg-MacLane, coomologia con impostazione assiomatica;
- Successioni spettrali; la successione spettrale di un complesso filtrato e di un bicomplesso;
- (Co)omologia cellulare;
- Gruppi di omotopia superiori;
- Il teorema di Hurewicz;
- La successione spettrale di Leray-Serre;
- Fasci e loro coomologia di Cech;
- Complessi di fasci e ipercoomologia;
- La successione spettrale di Frölicher e la decomposizione di Hodge;
- Teoria di Morse;
- Il teorema della sezione iperpiana di Lefschetz;
- Fibrati principali e fibrati associati;
- Classi caratteristiche;
- La formula di Hirzebruch-Riemann-Roch.

[ElementareWatson]

ti ringrazio