ElementareWatson ha scritto:megas_archon ha scritto:Se ti interessa la teoria dei numeri ci sono molte ragioni per imparare la topologia algebrica, sì.
perfetto, quando ritieni sia opportuno iniziare a studiarla? Subito dopo aver finito topologia generale?
Non è una domanda semplice: certamente, nella sua formulazione "classica", la topologia algebrica ha bisogno di alcune nozioni di topologia generale, ma solitamente nei libri moderni si tende ad seguire una sistematizzazione più sintetica (as opposed to "analitica", cioè che rivolge attenzione alla point-set topology sottostante). Il mio consiglio è di evitare libri troppo vecchi; Hatcher è relativamente moderno ma ha una filosofia che non riesco a trovare accattivante. Di converso, il mio libro preferito è "Modern Classical Homotopy Theory", l'unico libro che finora ho visto che non contiene dimostrazioni.
Il fatto, però, è che la maniera migliore di imparare la topologia algebrica è consultare 4-5 libri allo stesso tempo, seguendo un programma di massima che è circa lo stesso qualsiasi siano le tue motivazioni:
- alcuni richiami di topologia generale, con particolare accento sulle proprietà di base della compattezza, della connessione, e sul lemma di numeri di Lebesgue;
- la nozione di complesso cellulare (aka complesso di celle o CW-complesso);
- la nozione di omotopia tra mappe continue e la definizione di gruppo fondamentale;
- il teorema fondamentale della teoria dei gruppi fondamentali, \(\pi_1(S^1)=\mathbb Z\);
- costruzione della sospensione, sospensione ridotta e spazio dei lacci di $X$; corollario: le sfere sono semplicemente connesse;
- rivestimenti universali e teoria di Galois dei rivestimenti, rivestimenti abeliani, monodromia;
- spazi di Eilenberg-MacLane, coomologia con impostazione assiomatica;
- Successioni spettrali; la successione spettrale di un complesso filtrato e di un bicomplesso;
- (Co)omologia cellulare;
- Gruppi di omotopia superiori;
- Il teorema di Hurewicz;
- La successione spettrale di Leray-Serre;
- Fasci e loro coomologia di Cech;
- Complessi di fasci e ipercoomologia;
- La successione spettrale di Frölicher e la decomposizione di Hodge;
- Teoria di Morse;
- Il teorema della sezione iperpiana di Lefschetz;
- Fibrati principali e fibrati associati;
- Classi caratteristiche;
- La formula di Hirzebruch-Riemann-Roch.