HowardRoark ha scritto:gugo82 ha scritto:
Smanettaci da solo, che non ci vuole nulla.
Anzi, confronta quel che fai con l'algoritmo della divisione tra polinomi... Dopotutto, dato che il sistema di numerazione è posizionale, una divisione del tipo $1234:56$ dovrebbe potersi svolgere anche pensandola come particolarizzazione di $(x^3 + 2x^2 + 3x + 4):(5x+6)$ per $x=10$: è vero? Cosa viene fuori? Perché?
$1234= 56*22 +2$.
$x^3 +2x^2 +3x +4 = (5x+6) (x^2/125 + 4/25x + 51/125) +194/125$
Per $x=10$ ho abbastanza chiaro che le due espressioni siano la stessa cosa (più che altro per come si può scrivere un numero nel nostro sistema decimale), però i risultati vengono leggermente diversi. Con i numeri ho quoziente e resto interi; nel polinomio, se vado a sostituire il 10, ho $x^3 +2x^2 +3x +4 = 56*(2751/125) + 194/125$. I conti tornano e viene la stessa cosa, però quoziente e resto si presentano in maniera leggermente diversa, questo mi sembra abbastanza interessante.
Tanto interessante quanto il fatto che $1+1=2= 3/5 + 7/5$...
E cosa cambia se svolgi $(12x^2 + 3x + 4):(5x+6)$?
E cosa se alle usuali regole di calcolo aggiungi le condizioni:
- i polinomi devono avere coefficienti in $ZZ$
- $x^n = 10 x^(n-1)$ per ogni $n>=1$?
HowardRoark ha scritto:Poi, tre dubbi che ho sempre avuto sull'algoritmo della divisione sono i seguenti:
a) perché, quando vado a sottrarre il prodotto tra il quoziente parziale e il divisore e il "numero che sta sopra" (resto parziale a cui aggiungiamo una cifra del dividendo), il risultato è sempre non negativo?
b) perché vado ad eseguire la sottrazione? Cosa sto facendo in realtà con ciò?
c)perché "abbasso" la prima cifra del dividendo (se non le ho già considerate tutte) e vado a fare una nuova divisione?
Un'idea ovviamente ce l'ho, ma non ho mai trovato nessun libro di testo che analizzasse così a fondo tutti i passaggi di questo algoritmo, per questo intuitivamente mi sembra che vada bene ma poi non riesco a dimostrare "perché funzioni".
Tutte robe che vengono spiegate alle elementari, quando si impara a fare il conticino...
Proponi con la "tua idea", vediamo se ti ricordi bene.
HowardRoark ha scritto:gugo82 ha scritto:
Dipende da cosa vuol dire per te "avere dimestichezza con i numeri" e come ciò ti possa aiutare a "scrivere la frazione senza ricordarti formule".
Faresti un esempio?
Proprio quello della frazione generatrice. Se volessi scrivere $14,3bar(56)$ sotto forma di frazione, mi riguarderei sul quaderno la regola e quindi $(14356-143)/990 = (14213)/990$. Però mi piacerebbe capire perché questa formula funzioni e soprattutto un modo per ricavarla, perché non la posso ricordare senza che l'abbia capita (anche perché non la uso praticamente mai)
E questo è un problema che di solito si osserva in 1 superiore, quando si riprendono queste cose delle medie usando il linguaggio dell'Algebra... Insomma, non si dà una vera dimostrazione, ma almeno si rende accettabile logicamente l'idea.
Tanto per capirci, chiama $x = 14,3bar(56)$.
Moltiplicando $x$ per $10$ (ossia $10^1$, dove $1$ è il numero di cifre dell'antiperiodo) ottieni un periodico semplice, ossia $10x=143,bar(56)$.
Moltiplicando $10x$ per $100$ (ossia $10^2$, dove $2$ è il numero di cifre del periodo) ottieni un numero periodico semplice con lo stesso periodo, cioè $100*(10x) = 14356,bar(56)$, che è maggiore di $10x$.
Sottraendo il minore dal maggiore il periodo si semplifica ed ottieni un intero:
$100*(10x) - 10x = 14356,bar(56) - 143,bar(56)\ =>\ 100*(10x) - 10x = 14356 - 143$
e sfruttando la proprietà distributiva (o mettendo in evidenza, che dir vuoi) al primo membro ottieni:
$(100 - 1) *10x = 14356 - 143\ =>\ 99*10x = 14356 - 143$.
La precedente significa che $x$ è razionale ed è uguale alla frazione:
$x = (14356 - 143)/(99*10) = (14356 - 143)/(990)$
che ha al numeratore la differenza tra il numero privato di orpelli (i.e., virgola e sbarretta) e la parte privata della virgola che precede il periodo ed a denominatore tanti $9$ quante cifre del periodo seguiti da tanti $0$ quanti le cifre dell'antiperiodo.
Questa roba usualmente sta scritta sui libri di scuola, credo pure sui tuoi (mi pare che tu sia uscito da poco dalle superiori, o ricordo male?): l'hai mai incrociata?
HowardRoark ha scritto:gugo82 ha scritto:Mai provata tutta questa soddisfazione... Anche perché -a parte i casi banali- l'algoritmo di estrazione di radice non termina in nessuna maniera ragionevole (contrariamente a quello della divisione intera).
Non ho grandi ricordi di quel periodo, però mi sembrava carino avere uno strumento di calcolo senza basarsi sulle calcolatrici.
Capisco... Anche a me, quando cucino a casa, mi sembra carino saper accendere il fuoco con la paglia ed i bastoncini.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)