libro aritmetica

[HowardRoark]

Salve a tutti. Da tempo ho il desiderio di scavare un po' più a fondo in quella branca della matematica che si studia fin dalle scuole elementari, in maniera ovviamente più approfondita, adatta ad uno studio superiore/universitario. Oltre a voler sviscerare gli algoritmi delle 4 operazioni fondamentali, mi interesserebbe anche imparare (e soprattutto capire, senza applicare meccanicamente nulla) dei metodi che mi permettano di calcolare radici, logaritmi ed altre operazioni senza l'utilizzo di calcolatrici.
Sapreste consigliarmi un libro adatto allo scopo?
Vi ringrazio in anticipo.

[ElementareWatson]

il problema è che per quello che vuoi fare devi proprio applicare meccanicamente le cose (sono letteralmente degli algoritmi) a parete qualche raro metodo brillante che puoi trovare per aggirare qualche calcolo il resto ripeto sono proprio algoritmi

[HowardRoark]

il problema è che per quello che vuoi fare devi proprio applicare meccanicamente le cose (sono letteralmente degli algoritmi) a parete qualche raro metodo brillante che puoi trovare per aggirare qualche calcolo il resto ripeto sono proprio algoritmi

Mi affascina capire cosa c'è alla base di un algoritmo, dopodiché mi va anche bene applicarlo meccanicamente, purché sappia quello che sto facendo; per fare questo immagino che dovrei conoscere un po' meglio i numeri. I libri scolastici purtroppo non si soffermano quasi per nulla sulla teoria dei numeri (forse solo i primi 3/4 capitoli del libro del primo anno di liceo); piuttosto vengono trattate abbondantemente le funzioni, l'algebra e la geometria analitica. Infatti nelle università si riscontra il fatto, un po' paradossale, di gente che sa derivare ma che non sa fare una divisione tra numeri decimali (ma neanche una divisione tra polinomi).

Comunque ho notato il tuo post e forse cerchiamo del materiale simile, in caso trovi qualcosa fammelo sapere!

[ElementareWatson]

Infatti nelle università si riscontra il fatto, un po' paradossale, di gente che sa derivare ma che non sa fare una divisione tra numeri decimali (ma neanche una divisione tra polinomi).

Insomma, forse chi studia biologia non sa fare le divisioni

Comunque ho notato il tuo post e forse cerchiamo del materiale simile, in caso trovi qualcosa fammelo sapere!

certo, però io cerco libri sulla teoria dei numeri elementare, tu cerchi qualcosa di molto più specifico, che secondo me non trovi in un libro quanto più in varie dispense sparpagliate

[gugo82]

Da tempo ho il desiderio di scavare un po' più a fondo in quella branca della matematica che si studia fin dalle scuole elementari, in maniera ovviamente più approfondita, adatta ad uno studio superiore/universitario. Oltre a voler sviscerare gli algoritmi delle 4 operazioni fondamentali

Cosa vorresti sviscerare (urgh!) in particolare?

mi interesserebbe anche imparare (e soprattutto capire, senza applicare meccanicamente nulla) dei metodi che mi permettano di calcolare radici, logaritmi ed altre operazioni senza l'utilizzo di calcolatrici.

Per queste cose qui non servono libri di aritmetica.

[HowardRoark]

Cosa vorresti sviscerare (urgh!) in particolare?

Ad esempio, l'algoritmo della divisione lo applico in maniera piuttosto meccanica, e capire il "perché" funzioni è interessante. Anche perché sono cose che si fanno alle elementari e poi non più riprese, ci sta che poi col tempo uno se le possa scordare. Magari capirlo meglio permette di non fare più affidamento sulla memoria e ricavarsi ogni volta l'algoritmo, un po' come quando non ricordi come si scriva sotto forma di frazione un numero decimale periodico: se hai una certa dimestichezza con i numeri riesci a scrivere la frazione senza stare a ricordarti formule.
Poi un'altra cosa molto interessante, che ho fatto alle medie, era il calcolo della radice quadrata manualmente (sia di quadrati perfetti che non). Oggi purtroppo non ricordo più nulla di quell'algoritmo, ed è un peccato perché, oltre ad essere soddisfacente riuscire a calcolare una radice quadrata senza utilizzo di calcolatori, è anche utile per capire meglio come funziona l'operazione.
Posso riuscire ad approssimare la radice di un quadrato non perfetto con il polinomio di Taylor, però mi interesserebbe conoscere anche metodi più semplici.

Per queste cose qui non servono libri di aritmetica.

Che libro serve allora?

[gugo82]

Cosa vorresti sviscerare (urgh!) in particolare?

Ad esempio, l'algoritmo della divisione lo applico in maniera piuttosto meccanica, e capire il "perché" funzioni è interessante.

Beh, e ti serve un libro?
Smanettaci da solo, che non ci vuole nulla.

Anzi, confronta quel che fai con l'algoritmo della divisione tra polinomi... Dopotutto, dato che il sistema di numerazione è posizionale, una divisione del tipo $1234:56$ dovrebbe potersi svolgere anche pensandola come particolarizzazione di $(x^3 + 2x^2 + 3x + 4):(5x+6)$ per $x=10$: è vero? Cosa viene fuori? Perché?

Anche perché sono cose che si fanno alle elementari e poi non più riprese, ci sta che poi col tempo uno se le possa scordare. Magari capirlo meglio permette di non fare più affidamento sulla memoria e ricavarsi ogni volta l'algoritmo [...]

Perché le lezioni di Calcolo Letterale alle secondarie (di I e di II grado) sono fatte coi piedi.

Perché le somme di numeri si calcolino in colonna in quel modo o perché la moltiplicazione in colonna si faccia "spostando i risultati verso sinistra" è una conseguenza 1) della posizionalità del sistema di numerazione e 2) delle proprietà delle operazioni.
Se non si esplicitano questi link, le nozioni di (pre)Algebra (cioè il Calcolo Letterale) risultano sempre avulse dal contesto in cui sono maturate, cioè un sistema di calcolo che le aveva scritte dentro.

[...] un po' come quando non ricordi come si scriva sotto forma di frazione un numero decimale periodico: se hai una certa dimestichezza con i numeri riesci a scrivere la frazione senza stare a ricordarti formule.

Dipende da cosa vuol dire per te "avere dimestichezza con i numeri" e come ciò ti possa aiutare a "scrivere la frazione senza ricordarti formule".
Faresti un esempio?

Poi un'altra cosa molto interessante, che ho fatto alle medie, era il calcolo della radice quadrata manualmente (sia di quadrati perfetti che non). Oggi purtroppo non ricordo più nulla di quell'algoritmo, ed è un peccato perché, oltre ad essere soddisfacente riuscire a calcolare una radice quadrata senza utilizzo di calcolatori, è anche utile per capire meglio come funziona l'operazione.

Mai provata tutta questa soddisfazione... Anche perché -a parte i casi banali- l'algoritmo di estrazione di radice non termina in nessuna maniera ragionevole (contrariamente a quello della divisione intera).

Posso riuscire ad approssimare la radice di un quadrato non perfetto con il polinomio di Taylor, però mi interesserebbe conoscere anche metodi più semplici.

Più semplice di $sqrt(1 +x) ~~ 1 + 1/2 x$ per $|x|< 1$?

Per queste cose qui non servono libri di aritmetica.

Che libro serve allora?

Una tavola di logaritmi, seni e coseni del 1800?

[HowardRoark]

Smanettaci da solo, che non ci vuole nulla.

Anzi, confronta quel che fai con l'algoritmo della divisione tra polinomi... Dopotutto, dato che il sistema di numerazione è posizionale, una divisione del tipo $1234:56$ dovrebbe potersi svolgere anche pensandola come particolarizzazione di $(x^3 + 2x^2 + 3x + 4):(5x+6)$ per $x=10$: è vero? Cosa viene fuori? Perché?

$1234= 56*22 +2$.

$x^3 +2x^2 +3x +4 = (5x+6) (x^2/125 + 4/25x + 51/125) +194/125$

Per $x=10$ ho abbastanza chiaro che le due espressioni siano la stessa cosa (più che altro per come si può scrivere un numero nel nostro sistema decimale), però i risultati vengono leggermente diversi. Con i numeri ho quoziente e resto interi; nel polinomio, se vado a sostituire il 10, ho $x^3 +2x^2 +3x +4 = 56*(2751/125) + 194/125$. I conti tornano e viene la stessa cosa, però quoziente e resto si presentano in maniera leggermente diversa, questo mi sembra abbastanza interessante.
Poi, tre dubbi che ho sempre avuto sull'algoritmo della divisione sono i seguenti:

a) perché, quando vado a sottrarre il prodotto tra il quoziente parziale e il divisore e il "numero che sta sopra" (resto parziale a cui aggiungiamo una cifra del dividendo), il risultato è sempre non negativo?
b) perché vado ad eseguire la sottrazione? Cosa sto facendo in realtà con ciò?
c)perché "abbasso" la prima cifra del dividendo (se non le ho già considerate tutte) e vado a fare una nuova divisione?

Un'idea ovviamente ce l'ho, ma non ho mai trovato nessun libro di testo che analizzasse così a fondo tutti i passaggi di questo algoritmo, per questo intuitivamente mi sembra che vada bene ma poi non riesco a dimostrare "perché funzioni".

Dipende da cosa vuol dire per te "avere dimestichezza con i numeri" e come ciò ti possa aiutare a "scrivere la frazione senza ricordarti formule".
Faresti un esempio?

Proprio quello della frazione generatrice. Se volessi scrivere $14,3bar(56)$ sotto forma di frazione, mi riguarderei sul quaderno la regola e quindi $(14356-143)/990 = (14213)/990$. Però mi piacerebbe capire perché questa formula funzioni e soprattutto un modo per ricavarla, perché non la posso ricordare senza che l'abbia capita (anche perché non la uso praticamente mai)

Mai provata tutta questa soddisfazione... Anche perché -a parte i casi banali- l'algoritmo di estrazione di radice non termina in nessuna maniera ragionevole (contrariamente a quello della divisione intera).

Non ho grandi ricordi di quel periodo, però mi sembrava carino avere uno strumento di calcolo senza basarsi sulle calcolatrici.

[gugo82]

Smanettaci da solo, che non ci vuole nulla.

Anzi, confronta quel che fai con l'algoritmo della divisione tra polinomi... Dopotutto, dato che il sistema di numerazione è posizionale, una divisione del tipo $1234:56$ dovrebbe potersi svolgere anche pensandola come particolarizzazione di $(x^3 + 2x^2 + 3x + 4):(5x+6)$ per $x=10$: è vero? Cosa viene fuori? Perché?

$1234= 56*22 +2$.

$x^3 +2x^2 +3x +4 = (5x+6) (x^2/125 + 4/25x + 51/125) +194/125$

Per $x=10$ ho abbastanza chiaro che le due espressioni siano la stessa cosa (più che altro per come si può scrivere un numero nel nostro sistema decimale), però i risultati vengono leggermente diversi. Con i numeri ho quoziente e resto interi; nel polinomio, se vado a sostituire il 10, ho $x^3 +2x^2 +3x +4 = 56*(2751/125) + 194/125$. I conti tornano e viene la stessa cosa, però quoziente e resto si presentano in maniera leggermente diversa, questo mi sembra abbastanza interessante.

Tanto interessante quanto il fatto che $1+1=2= 3/5 + 7/5$...

E cosa cambia se svolgi $(12x^2 + 3x + 4):(5x+6)$?

E cosa se alle usuali regole di calcolo aggiungi le condizioni:

• i polinomi devono avere coefficienti in $ZZ$
  
  
• $x^n = 10 x^(n-1)$ per ogni $n>=1$?

Poi, tre dubbi che ho sempre avuto sull'algoritmo della divisione sono i seguenti:

a) perché, quando vado a sottrarre il prodotto tra il quoziente parziale e il divisore e il "numero che sta sopra" (resto parziale a cui aggiungiamo una cifra del dividendo), il risultato è sempre non negativo?
b) perché vado ad eseguire la sottrazione? Cosa sto facendo in realtà con ciò?
c)perché "abbasso" la prima cifra del dividendo (se non le ho già considerate tutte) e vado a fare una nuova divisione?

Un'idea ovviamente ce l'ho, ma non ho mai trovato nessun libro di testo che analizzasse così a fondo tutti i passaggi di questo algoritmo, per questo intuitivamente mi sembra che vada bene ma poi non riesco a dimostrare "perché funzioni".

Tutte robe che vengono spiegate alle elementari, quando si impara a fare il conticino...

Proponi con la "tua idea", vediamo se ti ricordi bene.

Dipende da cosa vuol dire per te "avere dimestichezza con i numeri" e come ciò ti possa aiutare a "scrivere la frazione senza ricordarti formule".
Faresti un esempio?

Proprio quello della frazione generatrice. Se volessi scrivere $14,3bar(56)$ sotto forma di frazione, mi riguarderei sul quaderno la regola e quindi $(14356-143)/990 = (14213)/990$. Però mi piacerebbe capire perché questa formula funzioni e soprattutto un modo per ricavarla, perché non la posso ricordare senza che l'abbia capita (anche perché non la uso praticamente mai)

E questo è un problema che di solito si osserva in 1 superiore, quando si riprendono queste cose delle medie usando il linguaggio dell'Algebra... Insomma, non si dà una vera dimostrazione, ma almeno si rende accettabile logicamente l'idea.

Tanto per capirci, chiama $x = 14,3bar(56)$.
Moltiplicando $x$ per $10$ (ossia $10^1$, dove $1$ è il numero di cifre dell'antiperiodo) ottieni un periodico semplice, ossia $10x=143,bar(56)$.
Moltiplicando $10x$ per $100$ (ossia $10^2$, dove $2$ è il numero di cifre del periodo) ottieni un numero periodico semplice con lo stesso periodo, cioè $100*(10x) = 14356,bar(56)$, che è maggiore di $10x$.
Sottraendo il minore dal maggiore il periodo si semplifica ed ottieni un intero:

$100*(10x) - 10x = 14356,bar(56) - 143,bar(56)\ =>\ 100*(10x) - 10x = 14356 - 143$

e sfruttando la proprietà distributiva (o mettendo in evidenza, che dir vuoi) al primo membro ottieni:

$(100 - 1) *10x = 14356 - 143\ =>\ 99*10x = 14356 - 143$.

La precedente significa che $x$ è razionale ed è uguale alla frazione:

$x = (14356 - 143)/(99*10) = (14356 - 143)/(990)$

che ha al numeratore la differenza tra il numero privato di orpelli (i.e., virgola e sbarretta) e la parte privata della virgola che precede il periodo ed a denominatore tanti $9$ quante cifre del periodo seguiti da tanti $0$ quanti le cifre dell'antiperiodo.

Questa roba usualmente sta scritta sui libri di scuola, credo pure sui tuoi (mi pare che tu sia uscito da poco dalle superiori, o ricordo male?): l'hai mai incrociata?

Mai provata tutta questa soddisfazione... Anche perché -a parte i casi banali- l'algoritmo di estrazione di radice non termina in nessuna maniera ragionevole (contrariamente a quello della divisione intera).

Non ho grandi ricordi di quel periodo, però mi sembrava carino avere uno strumento di calcolo senza basarsi sulle calcolatrici.

Capisco... Anche a me, quando cucino a casa, mi sembra carino saper accendere il fuoco con la paglia ed i bastoncini.

[HowardRoark]

E cosa cambia se svolgi $(12x^2 + 3x + 4):(5x+6)$?

Questo caso è interessante perché se vado a fare $3x-72/5x$ viene un numero negativo, cosa che non credevo fosse possibile in questo algoritmo. Infatti, come fa un resto ad essere negativo?


Comunque: $12x^2+3x+4= (5x+6)(12/5x-57/25) + 442/25$