libro aritmetica

[gugo82]

E cosa cambia se svolgi $(12x^2 + 3x + 4):(5x+6)$?

Questo caso è interessante perché se vado a fare $3x-72/5x$ viene un numero negativo, cosa che non credevo fosse possibile in questo algoritmo. Infatti, come fa un resto ad essere negativo?

Negativo? Un polinomio? Sei proprio sicuro che abbia senso?

Ma poi, anche ammesso di capire ciò che stai dicendo male, dove sta scritto che il resto parziale di una divisione tra polinomi non può avere coefficiente negativo?

[HowardRoark]

Poi, tre dubbi che ho sempre avuto sull'algoritmo della divisione sono i seguenti:

a) perché, quando vado a sottrarre il prodotto tra il quoziente parziale e il divisore e il "numero che sta sopra" (resto parziale a cui aggiungiamo una cifra del dividendo), il risultato è sempre non negativo?
b) perché vado ad eseguire la sottrazione? Cosa sto facendo in realtà con ciò?
c)perché "abbasso" la prima cifra del dividendo (se non le ho già considerate tutte) e vado a fare una nuova divisione?

Un'idea ovviamente ce l'ho, ma non ho mai trovato nessun libro di testo che analizzasse così a fondo tutti i passaggi di questo algoritmo, per questo intuitivamente mi sembra che vada bene ma poi non riesco a dimostrare "perché funzioni".

Tutte robe che vengono spiegate alle elementari, quando si impara a fare il conticino...

Proponi con la "tua idea", vediamo se ti ricordi bene.

Nel mio caso non si tratta di "ricordare" ma di "capire", perché sono uscito dalle superiori senza saper fare le divisioni (nel 2016), figurati se alle elementari ci capivo qualcosa. Infatti in matematica riuscivo a prendere solo "sufficiente" in pagella (alle elementari, specifico). Ho recuperato molti concetti studiando in autonomia dai libri delle superiori, ma forse alcuni "buchi" mi sono rimasti.

Comunque:
a) il risultato è sempre non negativo perché se fosse negativo vorrebbe dire il prodotto tra il quoziente parziale e il divisore è maggiore rispetto al dividendo, che è assurdo.

b) vado ad eseguire la sottrazione perché se moltiplico quoziente parziale e divisore non ottengo il dividendo (a meno che il dividendo non sia divisibile per il divisore, infatti in quel caso avrei resto nullo), e quindi la sottrazione mi serve per capire "quante cifre mancano" a raggiungere il dividendo.

c) diciamo che ho voluto intenzionalmente fare più domande possibili, anche quelle superflue . Magari imparo qualcosa di nuovo. Questa mi sembra ovvia.

[HowardRoark]

E cosa cambia se svolgi $(12x^2 + 3x + 4):(5x+6)$?

Questo caso è interessante perché se vado a fare $3x-72/5x$ viene un numero negativo, cosa che non credevo fosse possibile in questo algoritmo. Infatti, come fa un resto ad essere negativo?

Negativo? Un polinomio? Sei proprio sicuro che abbia senso?

Ma poi, anche ammesso di capire ciò che stai dicendo male, dove sta scritto che il resto parziale di una divisione tra polinomi non può avere coefficiente negativo?

Tra numeri non si verifica mai di avere un resto parziale negativo, credevo fosse così anche per i polinomi.
Comunque il mio procedimento è corretto, vorrei più che altro interpretare correttamente il mio risultato.

[gugo82]

Tra "ricordare" e "capire" e tra "capire" e "saper fare" ci sono rapporti difficili, in cui non sempre l'uno implica l'altro o c'è equivalenza.
Ad esempio, avresti potuto uscire dalle superiori:

• senza "saper fare" le divisioni, ma avendole "capite" (caso buono: bisogna solo fare esercizio; caso cattivo: c'è un disturbo del calcolo);
  
  
• o senza aver "capito" le divisioni, ma "sapendole fare" (caso buono: nessuno ti ha mai mostrato perché vanno svolte così; caso cattivo: non hai mai studiato quello specifico argomento);
  
  
• o senza né aver "capito" né "sapendo fare" le divisioni (caso buono: il contesto ti ha frenato più di quanto avrebbe dovuto; caso cattivo: nonostante il supporto di tutti, tu non hai fatto una ceppa a scuola);
  
  
• sia avendo "capito" sia "sapendo fare" le divisioni.¹

Insomma, la situazione è complessa e sta a te capire perché tu sia uscito -6 anni fa- dal sistema dell'istruzione con le ossa rotte ed una base culturale non proprio ottimale... Attenzione: non intendo dire che devi capire a chi distribuire le colpe, che è un esercizio inutile; ma devi capire perché è successo quello che è successo e cosa puoi fare per rimediare.²

Se vogliamo continuare a parlare di divisioni, però, forse è il caso di farlo in una stanza a parte.
Non sò, forse in quella delle Secondarie.

---

Note

1. Diciamo che questo è l'obiettivo dell'istruzione inferiore. ↑
2. Per inciso, avevo un amico che ha passato un brutto periodo dopo le superiori: terminato lo scientifico con un anno di ritardo, dopo ha fatto dei corsi professionalizzanti ed è andato a lavorare al nord (disegnava roba in CAD). Poi gli è scattato qualcosa lavorando, perché capiva che c'erano cose che voleva comprendere ma non aveva gli strumenti minimi per farlo. Si è rimesso a studiare, poi ha lasciato il lavoro e si è iscritto all'università. Ora è laureato, o gli manca poco, lavora di nuovo, ha una famiglia, figli, etc... ↑

[HowardRoark]

[*] o senza né aver "capito" né "sapendo fare" le divisioni (caso buono: il contesto ti ha frenato più di quanto avrebbe dovuto; caso cattivo: nonostante il supporto di tutti, tu non hai fatto una ceppa a scuola)

Io rientro in questa categoria. Comunque ormai acqua passata, credo di aver già rimediato in gran parte alle mie lacune scolastiche anche se come vedi qualche dubbio ce l'ho ancora, forse avrei dovuto ricominciare dai libri delle medie a studiare matematica. Ora come ora mi verrebbe il latte alle ginocchia, quindi preferisco evitare

Se vogliamo continuare a parlare di divisioni, però, forse è il caso di farlo in una stanza a parte.
Non sò, forse in quella delle Secondarie.

Per me va benissimo! Così mi fai sapere se ho scritto qualche fesseria e perché il resto parziale di una divisione fra polinomi può essere negativo mentre in una divisione fra numeri no.
Ma devo riaprire il thread o posso spostare questo direttamente nella sezione "scuola secondaria"?

[gugo82]

Aprine un altro in Secondaria II grado.

Intanto, però, rifletti su questo: come scegli un quoziente (parziale, se la divisione è "difficile") in una divisione intera? C'è un modo o procedi a casaccio?
E come scegli un quoziente (parziale) in una divisione tra polinomi? C'è un modo o procedi a casaccio?
I due modi sono uguali? O sono diversi? Hanno qualche analogia? Quale?

[HowardRoark]

Aprine un altro in Secondaria II grado.

Intanto, però, rifletti su questo: come scegli un quoziente (parziale, se la divisione è "difficile") in una divisione intera? C'è un modo o procedi a casaccio?
E come scegli un quoziente (parziale) in una divisione tra polinomi? C'è un modo o procedi a casaccio?
I due modi sono uguali? O sono diversi? Hanno qualche analogia? Quale?

In una divisione intera $a:b$ come quoziente parziale scelgo quel numero $n$ tale che $bn<=a$ e inoltre $b(n+1)>a$: $n$ è il numero massimo tale che, moltiplicato per il divisore, mi dia come risultato un numero minore o uguale del dividendo. Per questo è chiaro che il resto parziale è sempre positivo o nullo.

In un polinomio, solitamente ordino il polinomio dividendo per i gradi dei singoli monomi e divido il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore. L'unica differenza rispetto all'algoritmo precedente è che qui la prima divisione la faccio solo considerando parte del divisore, mentre nell'altro caso lo consideravo per intero. Per questo può venire un resto negativo, ed è piuttosto chiaro, però mi chiedo come interpretare questa differenza rispetto al caso dei numeri interi.

Comunque non credo ci sia bisogno di aprire un altro thread, perché non ho dubbi così importanti riguardo questo argomento e credo ormai di averlo ripassato quasi del tutto. Magari si può spostare questo thread in "secondaria di secondo grado" giusto perché potrebbe essere utile ad altre persone! (se lo avessi saputo fare lo avrei già fatto)

[HowardRoark]

E cosa se alle usuali regole di calcolo aggiungi le condizioni:

• i polinomi devono avere coefficienti in $ZZ$
  
  
• $x^n = 10 x^(n-1)$ per ogni $n>=1$?

Vorrei riprendere questo punto perché è l'ultima cosa che non mi è chiara per collegare al meglio la divisione tra polinomi con quella tra interi.

Se impongo che i polinomi abbiano tutti coefficienti interi, mi viene una situazione un po' paradossale anche se formalmente corretta: $12x^2+3x+4=(5x+6)(2x-1) + 2x^2-4x+10$, cioè un "resto" con grado maggiore del divisore. Come faccio a collegare questo fatto con la normale divisione tra naturali, $1234=56*22+2$?
Cioè, vorrei svolgere una divisione tra polinomi che sia esattamente speculare a quella che eseguo con l'algoritmo della divisione (senza considerare coefficienti frazionari quindi).
Credo di aver capito: mi risulta $12x^2+3x+4=(5x+6)(2x+2)+2$, risultato speculare di quello ottenuto con la divisione classica.