E' un utente famoso per aver fatto simili domande in passato?gugo82 ha scritto:Credevo i problemi con gli insiemi numerici fossero terminati otto anni fa...
Strano, pensavo solitamente si studiasse in algebra la costruzione formalizzata dei vari insiemi numerici... il problema di farla all'inizio è che nessuno va così indietro da definire i naturali, che invece si possono (e dovrebbero) definire rigorosamente per poi costruire tutti gli altri. Invece solitamente si parte dal "definire" i numeri reali, che invece sono una pira in fiamme dal punto di vista dei fondamenti, e si finisce per non andare mai all'indietro, al cuore del problema...Ad ogni buon conto, non ci sono tanti libri elementari che affrontino compiutamente la questione; io stesso l'ho studiata in Analisi I
Avendo come punto di partenza gli assiomi elementari della teoria degli insiemi, cioè (le proprietà del)le usuali operazioni insiemistiche, credo qualsiasi definizione sia equivalente a questa: prendi due ingredienti, l'insieme vuoto \(\varnothing\) e la funzione successore \(s
: y\mapsto y\cup\{y\}\); dall'assioma di estensionalità e con la definizione di unione, si vede che $s$ è iniettiva, quindi la famiglia di insiemi \(\varnothing,s(\varnothing), s(s(\varnothing)),\dots\) è fatta di elementi a due a due distinti, e ordinati dal loro risultare da iterazioni maggiori/minori della funzione successore. Nel linguaggio di ZF stai semplicemente interpretando il fatto che i numeri naturali sono definiti da queste due "regole di formazione", o assiomi:
1. Lo zero è un numero naturale
2. Se $n$ è un numero naturale, $s(n)$ (che al momento è meramente un simbolo) è un numero naturale.
Allora, l'insieme di "tutti" i numeri naturali è proprio \(\{0, s0, ss0, sss0, \dots\}\). Costruiti in questa maniera, i numeri naturali soddisfano una proprietà universale, di cui a suo tempo si parlò qui. In questa maniera (ma definiti à la façon de Peano) i naturali sono introdotti, per esempio, da Paul Taylor nella definizione 2.7.1 a pagina 107 di "Practical foundations of Mathematics". Le regole di formazione compaiono nell'Osservazione 2.7.7 poco sotto e la lezione da portare a casa è che l'unica maniera di definire e dimostrare proprietà relative ai numeri naturali è l'induzione strutturale: ad esempio, la somma è definita per induzione come
- Codice:
0 + m = m
s n + m = s (n + m)
- Codice:
z≤n : ∀ {n} → 0 ≤ n
s≤s : ∀ {m n} (m≤n : m ≤ n) → s m ≤ s n
A questo punto puoi costruire i numeri interi e i razionali essenzialmente nel modo che penso conoscerai, questa volta sì, dall'algebra astratta: sulle coppie di naturali \((m,n)\) si definisce una relazione di equivalenza che permette di pensare alla coppia \((m,n)\) come alla "differenza formale" \(m-n\), cosicché ogni numero intero positivo \((n,0)=`+n'\) acquista un inverso additivo \((0,n)=`-n'\), e sulle coppie di interi con la seconda componente non nulla, si definisce una relazione di equivalenza che permette di pensare alla coppia \((m,n)\) come alla "divisione formale" \(\frac m n\). Le operazioni aritmetiche che conosci dalle elementari rendono \(\mathbb Z,\mathbb Q\) ottenuti a questa maniera degli anelli.
La "costruzione dei numeri" si fa a questo modo in pressoché ogni libro di algebra: Piacentini-Cattaneo, "Algebra: un approccio algoritmico"; Facchini "Algebra e Matematica discreta"; Pierre Grillet, "Algebra"; Serge Lang, "Algebra"; Bourbaki, Algèbre Ch. I, §9, Définition 4... e così via.
Il fatto è che il cuore del problema è agli estremi: i reali sono un oggetto altamente problematico, ma non ne voglio parlare qui. Quando hai definito i naturali, e sei sicuro di cosa sono, quello che sta in mezzo (Z e Q) è ottenibile con solo un po' di fatica.
Però la lista di definizioni dei numeri naturali non finisce qui: ad esempio puoi avere la prospettiva di cui si parlava là dove viene definita \(\sf Dyn\), e parlare della struttura "iniziale" (cioè, informalmente parlando, la più piccola) dotata di un sistema dinamico: da questo punto di vista i numeri naturali consistono dello spazio delle orbite per l'azione di traslazione di una tacca su una linea graduata che "non finisce mai" e che "va sempre avanti e mai indietro", cioè che può estendersi senza limite in una direzione, spostandosi dalla tacca iniziale (zero), alla successiva (uno), alla successiva (due)... e che procede sempre nella stessa direzione, senza mai passare due volte per lo stesso punto.
Alternativamente, puoi dimostrare che, dato un insieme $S$, è sempre possibile costruire un monoide i cui elementi sono le stringhe finite di simboli generati concatenando elementi di $S$, cioè le "liste" a valori in $S$; quando $S=\{s\}$ ha un solo elemento, capisci bene che questa costruzione si può fare in uno e un solo modo: scrivendo \(\{(),(s), (ss), (sss),\dots\}\) e che questi elementi sono esattamente delle "annotazioni" degli elementi dell'insieme che stai costruendo: la stringa vuota \(()\) corrisponde a zero, la stringa \((s)\) a uno, eccetera... Allora l'insieme dei numeri naturali non è altro che l'insieme delle parole nell'alfabeto su una singola lettera.
Giorni fa si parlava, proprio qui, della differenza tra teorie e modelli; la questione è circa la stessa: quello che vedi qui o nella definizione 2.7.1 di "Practical foundations" è la teoria dei numeri naturali, la sintassi; la pletora di presentazioni di \(\mathbb N\) che ti ho elencato sono i modelli dei numeri naturali, e hanno la piacevole proprietà di essere tutti isomorfi perché click gli assiomi di Peano al 2o ordine sono una teoria categorica.
Uno potrebbe obiettare, ora, che la definizione data a questa maniera sia circolare: se i numeri naturali servono a contare, come fai a sapere quante volte devi aggregare insieme le "s" davanti a $0$ in modo da ottenere "il numero $n$", ossia la parola \(ss\dots s0\) dove hai messo $n$ volte $s$ a sinistra dello zero, senza sapere già cos'è $n$? Questa è una questione sottile, che (secondo me, che sono l'ultimo ad avere autorità in questa questione dato che faccio tutt'altro) ha completamente fatto perdere il lume della ragione a persone apparentemente competenti come Benacerraf click. E' una storia lunga, e non ci voglio entrare: secondo me non esiste luogo migliore per avere una risposta ragionata dell'introduzione del libro di G. Tourlakis, "Lectures in Logic and Set Theory", volume I. Questo è quello che viene detto a pagina 10:
Buona lettura.
