PROBABILITA' E STATISTICA

[*ciccio]

Ciao a tutti,
Ho un problema con un esercizio di probabilità e vi ringrazio anticipatamente per le risposte, ve lo propongo:
"Date 2 variabili x ed y con media m(x)=15 e m(y)=20 e con varianza V(x)=2,25 e V(y)=4 e covarianza C(xy)=3.
Determinare la media e la varianza di una terza incognita z somma delle 2; z=3x+y.
Ciao.

[nicola de rosa]

Ciao a tutti,
Ho un problema con un esercizio di probabilità e vi ringrazio anticipatamente per le risposte, ve lo propongo:
"Date 2 variabili x ed y con media m(x)=15 e m(y)=20 e con varianza V(x)=2,25 e V(y)=4 e covarianza C(xy)=3.
Determinare la media e la varianza di una terza incognita z somma delle 2; z=3x+y.
Ciao.

1)$Z=3X+Y$ $->$ $ E[Z]=3E[X]+E[Y]=3*15+20=65$
2)$Var[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]$
Ora $E[Z^2]=E[(3X+Y)^2]=9E[X^2]+E[Y^2]+6E[XY]$ con
$E[Y^2]=Var[Y]+E^2[Y]=4+400=404$
$E[X^2]=Var[X]+E^2[X]=2.25+225=227.25$
$E[XY]=C[X,Y]+E[X]E[Y]=3+300=303$ per cui
$E[Z^2]=9*227.25+404+6*303=4267.25$ da cui
$Var[Z]=4267.25-65^2=42.25$

Quindi se $Z=3X+Y$ allora $E[Z]=65$ e $Var[Z]=42.25$

Se invece $Z=X+Y$ analogamente $ E[Z]=E[X]+E[Y]=35$
$E[Z^2]=E[(X+Y)^2]=E[X^2]+E[Y^2]+2E[XY]=227.25+404+2*303=1237.25$ da cui
$Var[Z]=1237.25-35^2=12.25$


Generalizzo:
Sia $Z=aX+bY$

1)$E[Z]=aE[X]+bE[Y]$
2)$Var[Z]=E[(Z-E[Z])^2]=E[(aX+bY-aE[X]-bE[Y])^2]=E[(aX-aE[X])^2]+E[(bY-bE[Y])^2]+E[2ab(X-E[X])(Y-E[Y])]$=
$a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2abE[XY-XE[Y]-YE[X]+E[X]E[Y]]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2ab(E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y])$=
$a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2ab(E[XY]-E[X]E[Y])=a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2abCov(X,Y)$

Per cui anche nel tuo caso
1)$a=3$, $b=1$ $->$ $E[Z]=3*15+20=65$ e $Var[Z]=9*2.25+4+6*3=42.25$
2)$a=1$, $b=1$ $->$ $E[Z]=15+20=35$ e $Var[Z]=2.25+4+6=12.25$

Sono due modi alternativi di procedere, l'uno passa per $E[Z^2]$ e l'altro lo bypassa dando subito un'espressione per la varianza. Ma i risultati sono ovviamente identici

[Admin]

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