Funzione derivabile due volte e convessità

[SimoneSc]

Salve ho questa funzione definita a tratti:

$f(x)={(x^2-3x, se, x<4),(5x-16, se, x>=4):}$

e devo stabilire se è due volte derivabile e se è convessa.

Io so che $f$ è convessa su $(a,b)$ $⇐⇒$ $f'(x)$ è crescente su $(a,b)$
E nel mio caso la derivata prima di $x^2-3x$ è $2x-3$ il cui grafico è una retta. Ho studiato poi la monotonia della funzione ponendo la derivata prima $>0$ ed è uscito fuori che la funzione $2x-3$ è crescente per $x>3/2$. Che ci devo fare però con quell'intervallo $x<4$ che mi è stato dato dall'esercizio?

E poi per stabilire se la funzione è due volte derivabile devo semplicemente provare a fare la derivata seconda? Perché in caso poi potrei sfruttare il fatto che se $f : (a,b) → R$ derivabile 2 volte in $(a,b)$. Si ha: $f$ convessa su $(a,b)$ $⇐⇒$ $f′′(x) ≥ 0$ su $(a,b)$.

Infine, domanda un po' scema: nel mio caso l'intervallo $(a, b)$ è nel primo tratto è $(-infty, 4)$ e nel secondo tratto $[4, +infty)$?

Grazie mille per la disponibilità e buona giornata.

[obnoxious]

Il problema della derivabilita' si pone nel punto di giunzione \( x= 4\). La funzione e' ivi continua. Fai il rapporto incrementale e vedi se il limite esiste; poi cerca di capire se la derivata prima e' continua, e se e' a sua volta derivabile.

[SimoneSc]

Ho provato a fare il rapporto incrementale in $x0 = 4 $ di $x^2−3x$ per $h->0$ e il limite destro e sinistro mi vengono diversi quindi la funzione non esiste. Ho sbagliato qualche cosa?

[obnoxious]

Ho provato a fare il rapporto incrementale in $x0 = 4 $ di $x^2−3x$ per $h->0$ e il limite destro e sinistro mi vengono diversi quindi la funzione non esiste. Ho sbagliato qualche cosa?

Non ho capito cosa vuoi dire. Devi calcolare \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{5(4+h) - 16 - 4}{h} \] e \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{(4+h)^2 - 3(4+h) - 4}{h} \] e verificare che coincidano. \(4\) e' il valore di \(f\) nel punto \( x = 4\).

[SimoneSc]

Hai ragione, sono io ad aver fatto una cavolata. Infatti mi ero calcolato il limite destro e sinistro di $x^2-3x$ ma se questa ultima è definita per $x<4$ non ha senso che io mi calcoli anche il limite destro. Comunque ora ho calcolato i due limiti come mi hai indicato tu e mi vengono entrambi $=5$. Ora che abbiamo dimostrato che anche nel punto di congiunzione la funzione è continua possiamo dire che che è derivabile su tutto l'intervallo di definizione?

[obnoxious]

[...] Ora che abbiamo dimostrato che anche nel punto di congiunzione la funzione è continua possiamo dire che che è derivabile su tutto l'intervallo di definizione?

Il fatto che i due limiti siano uguali mostra che la funzione e' derivabile in \( x = 4 \) (quei due che ho scritto sopra sono rapporti incrementali). Cosi' per esercizio, se vuoi mostrare che \(f\) e' continua in \(x=4\), devi fare vedere che \( \lim_{x \to 4^{-}} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) \).

Una volta fatto cio' devi far vedere che \( f' (x) \) e' continua. Sicuramente non ci sono problemi per \( x \ne 4\). Cosa succede in \( x = 4 \)?

[SimoneSc]

Riassumo per vedere se ho capito: facendo quei due rapporti incrementali e verificando che il risultato dei due limiti fosse lo stesso ho dimostrato che la funzione è derivabile nel punto $x=4$. Mentre facendo il $ \lim_{x \to 4^{-}} x^2-3x$ e $\lim_{x \to 4^{+}} 5x-16$ e verificando che il risultato dei due limiti fosse lo stesso ho dimostrato che la funzione $f$ è continua nel punto $x=4$.

Per $x!=4$ mi basta applicare le regole di derivazione e nel caso in cui la funzione fosse derivabile (e lo è) affermare che è anche continua giusto? Mentre per $x=4$ abbiamo verificato "manualmente" tramite i rapporti incrementali che è derivabile. Il mio ragionamento ruota intorno al fatto che so che la derivabilità implica la continuità.

Infine per dire se è due volte derivabile e se è convessa come mi devo comportare? Per quanto riguarda la convessità io so che una funzione è convessa se la derivata prima è crescente in $(a, b)$.

Grazie infinite per la pazienza, ma veramente non riesco a capire bene.

[obnoxious]

Mi sembra che tu stia capendo.

Riassumo per vedere se ho capito: facendo quei due rapporti incrementali e verificando che il risultato dei due limiti fosse lo stesso ho dimostrato che la funzione è derivabile nel punto $x=4$. Mentre facendo il $ \lim_{x \to 4^{-}} x^2-3x$ e $\lim_{x \to 4^{+}} 5x-16$ e verificando che il risultato dei due limiti fosse lo stesso ho dimostrato che la funzione $f$ è continua nel punto $x=4$. [...]

Esatto.

Per $x!=4$ mi basta applicare le regole di derivazione

Si', pero' poi devi controllare cosa succede in \( x = 4 \). Sicuramente \( f'(x)\) esiste continua per \( x \ne 4 \) (i due rami di \(f\) sono polinomi, che sappiamo essere di classe \(C^\infty\)), devi capire se i due pezzi di \( f'\) si uniscono con continuita' in \( x=4 \) (in realta' basterebbe mostrare che \(f'\) e' derivabile in \(x=4\)... ma noi vogliamo essere un po' pedanti e capire meglio le cose).

Il criterio per la convessita' che indichi va bene ed e' utile in questo caso.

[SimoneSc]

Per dimostrare la continuità nel punto $x=4$ io rifarei il limite $\lim_{x \to 4^{-}}$ e il limite per $\lim_{x \to 4^{+}}$, ma questa volta non della funzione di partenza, ma delle rispettive derivate prime. E quindi sarebbe:
$\lim_{x \to 4^{-}} 2x-3$ e $\lim_{x \to 4^{+}} 5$. E il limite di entrambi mi viene $5$. Quindi possiamo affermare che i due tratti di $f'$ sono continui anche nel punto $x=4$ e quindi sono sempre continui (infatti la funzione è sicuramente continua in $x!=4$ perché come hai giustamente detto tu i polinomi sono di classe \( C^\infty \). Ora posso procedere come ho detto nel precedente messaggio?

Infine per dire se è due volte derivabile e se è convessa come mi devo comportare? Per quanto riguarda la convessità io so che una funzione è convessa se la derivata prima è crescente in $(a, b)$.

Perché in tal caso la funzione non sarebbe convessa in quanto $f'$ di $5x-16$ è una funzione costante e quindi la funzione non può essere globalmente crescente. Mentre la derivata seconda esiste per entrambi i rami della funzione.
Dimmi se ci sono errori e grazie ancora dell'aiuto.

[obnoxious]

[...] Perché in tal caso la funzione non sarebbe convessa in quanto $f'$ di $5x-16$ è una funzione costante e quindi la funzione non può essere globalmente crescente. Mentre la derivata seconda esiste per entrambi i rami della funzione.
Dimmi se ci sono errori e grazie ancora dell'aiuto.

Di solito crescente significa \( f(y) \ge f(x) \) per \( y \ge x \). Di fatto un retta è convessa (guarda il grafico). Quindi i due rami della funzione sono sono convessi, se presi singolarmente. Cosa può andare storto? Ovviamente il punto di giunzione: potresti avere un fenomeno del genere (ok, c'è da dire che in tal caso la derivata prima non è neppure continua).

Di fatto nel tuo caso ti basta controllare che \( f' \) è crescente (o non descrescente, se preferisci), in un intorno del punto di giunzione.