Il moto circolare uniforme

[Falco5x]

Mi intrometto non certo per dare manforte a navigatore, il quale mi sembra che non ne abbia proprio bisogno, ma solo per confermare che ci sono forti motivazioni per attribuire alla velocità angolare l'aspetto di un vettore, perché la velocità angolare non è un concetto scalare ma un concetto intrinsecamente vettoriale. Mi spiego.
Supponiamo di non conoscere nulla e di dire che un certo punto ruota attorno a un certo altro punto detto centro di rotazione con una certa velocità e a una certa distanza da esso. Per precisare quantitativamente la cosa non basterebbe che dicessimo la derivata dell'angolo nel tempo, ma saremmo costretti a dire quale fosse l'asse di rotazione, cioè la retta che funge da perno, in mdo da specificare in questo modo anche il piano sul quale la rotazione avviene. Per definire questa retta dovremmo esprimere 3 quantità, cioè i cosiddetti coseni direttori della retta nello spazio. Dunque a questo punto per definire una velocità angolare saremmo costretti a esprimere 4 quantità di cui 3 spaziali e una scalare, uguale alla derivata dell'angolo nel tempo. E non basterebbe ancora, perché dovremmo anche definire un verso di rotazione e allora dovremmo specificare un senso di percorrenza della retta coerente con il movimento di avvitamento che fa il corpo rotante attorno alla retta stessa. Insomma un pasticcio terribile.
Con un solo vettore invece, e quindi con solo 3 componenti, abbiamo chiarito ogni dubbio.
E ciò è anche coerente con altre grandezze che in fisica sono in qualche modo legate a concetti di rotazione, quali ad esempio il momento di una forza, il momento angolare, ecc.

[navigatore]

Grazie Falco per il necessario completamento . Ci voleva .
Se tutti apprezzassero il calcolo vettoriale come si deve, secondo me lo imparerebbero anche più volentieri .
Se poi , nel caso della velocità angolare , pensiamo al moto di corpi solidi "liberi" , che possono avere assi di rotazione variabili sia rispetto al corpo che rispetto al riferimento , direi che l'uso dei vettori è quasi obbligatorio ....Ma lasciamo a Davide il tempo di studiare e di arrivarci , mi sembra prematuro parlarne ora .

[smaug]

ragazzi siete eccezionali! grazie mille a tutti!

[gio73]

Riassumo: gli angoli sono angoli e sono scalari
ma la derivata rispetto al tempo un vettore che è perpendicolare al piano che contiene l'angolo e il cui punto di applicazione coincide con il vertice dell'angolo.

[navigatore]

gio73,

Penso sia colpa mia ( nostra?) , ma devo chiarire questo punto , perchè sembra che la velocità angolare non possa essere altro che un vettore , disposto lungo un asse di rotazione . Ebbene , non sono d'accordo , ma non voglio suscitare un altro "casus belli" ....

Perciò cito Falco innanzitutto :

...solo per confermare che ci sono forti motivazioni per attribuire alla velocità angolare l'aspetto di un vettore, perché la velocità angolare non è un concetto scalare ma un concetto intrinsecamente vettoriale. Mi spiego.
Supponiamo di non conoscere nulla e di dire che un certo punto ruota attorno a un certo altro punto detto centro di rotazione con una certa velocità e a una certa distanza da esso. Per precisare quantitativamente la cosa non basterebbe che dicessimo la derivata dell'angolo nel tempo, ma saremmo costretti a dire quale fosse l'asse di rotazione, cioè la retta che funge da perno, in mdo da specificare in questo modo anche il piano sul quale la rotazione avviene.

Ecco , non sono d'accordo con le frasi che ho sottolineato . E ora spiego il perchè .

Limitiamoci a considerare un moto piano , cioè che avvenga parallelamente ad un piano . Faccio un esempio , che chiarisce il mio pensiero , spero . Prendi un foglio di carta , ad es. un A4 che usi per la stampante . Disegna un segmento $AB$ . Poi prendi un altro punto $O$ qualsiasi sul foglio , anche non allineato e non equidistante da $A$ e da $B$ . Prendi uno spillo , e "inchioda" il foglio al tavolo nel punto $O$ . Hai appena fissato un "asse di rotazione" in $O$ .
Ora fai ruotare il foglio attorno all'asse : i punti $A$ e $B$ descrivono , rispetto al tavolo , degli archi di circonferenza , con velocità periferiche diverse se non sono alla stessa distanza da $O$ , ma con la stessa velocità angolare , giusto ?
MA puoi anche dire che , con ugual velocità angolare , il punto $B$ ruota rispetto al punto $A$ , ti sembra ?
E puoi anche dire che qualunque punto del foglio ruota rispetto a qualunque altro punto del foglio , supposto fisso , con la stessa velocità angolare, quantità scalare uguale alla derivata dell'angolo rispetto al tempo.
Per esempio, per guardare la faccenda dal punto di vista di un osservatore in $A$ , che devi fare ? Devi togliere lo spillo da $O$ e piantarlo in $A$ : se dai lo stesso valore alla derivata dell'angolo rispetto al tempo , puoi ben dire che $O$ ruota rispetto ad $A$ con la stessa velocità angolare , solo che adesso l'asse di rotazione è in $A$ , anzichè in $O$ .

Poi , per nostra comodità , e per poter utilizzare il calcolo vettoriale onde esprimere la velocità periferica come prodotto vettoriale : $\vecV = \vec\omega\times\vecR $ , diciamo che $\vec\omega$ è un vettore e lo applichiamo sull'asse di rotazione . Ma questo è strettamente necessario solo per definire la velocità vettoriale periferica , non per definire $\omega = (d\theta)/dt $ .
Non so se sono stato chiaro .

E faccio pure un altro esempio . Prendiamo la Terra, che ruota tranquillamente sul suo caro asse : siamo soliti applicare il vettore $\vec\omega$ sull asse terrestre . Ma è necessario solo per determinare la velocità vettoriale tangenziale di un punto P qualunque .
Prendiamo un punto P sulla superficie, alla latitudine $\phi$ , e consideriamo il piano tangente in P , che è il piano dell'orizzonte per P , evidentemente .
Ora, conduciamo per P una retta parallela all'asse terrestre ( che sta un pò nello spazio e un pò sotto terra...) , e ci piazziamo sopra il vettore $\vec\omega$ . A che scopo ? vogliamo sapere come valutare la rotazione del piano tangente .
Se per P consideriamo il piano meridiano , e chiamiamo $x$ l'asse determinato dai due piani :"tangente-meridiano" ; e inoltre tracciamo la verticale per P chiamandola $z$ , possiamo scomporre $\vec\omega$ in due componenti : il componente meridiano $\vec\omega * cos\phi$ , che ci dà la velocità angolare con cui ruota il piano tangente attorno all'asse $x$ , alzandosi ad Ovest e abbassandosi ad Est ; e il componente verticale $\vec\omega * sen\phi$ , con cui il piano tangente ruota attorno all'asse verticale $z$ .
Naturalmente qui andrebbero fatte delle precisazioni circa il riferimento da cui si osserva .....

Insomma , il carattere vettoriale della velocità angolare ci fa comodo, ma non è l'unico modo per vedere le cose . La posizione del vettore , cioè dove lo mettiamo , dipende da ciò che dobbiamo farne .

E ora mi aspetto le repliche.

[gio73]

Grazie navigatore, ti leggo con piacere, ed immagino ti leggano con piacere anche i tuoi colleghi ingegneri che si divertiranno a replicare.
Per quanto mi riguarda credo di avere scarsi strumenti intellettuali e quindi non posso partecipare costruttivamente al dibattito, vediamo se nonostante tutto capisco qualcosa:
$vec(v)=vec(omega)Xvec(r)$
(ma come si scrive il prodotto vettoriale con le formule?)
ora giacchè ho posizionato $omega$ affinchè fosse perpendicolare al piano che contiene r, il modulo di v sarà sempre dato da $omega*r$, inoltre la direzione di v sarà sempre perpendicolare a r, cioè tangenziale, per il verso faccio valere la regola della mano destra.
fino qui tutto bene?

[navigatore]

$vec(v)=vec(omega)Xvec(r)$
(ma come si scrive il prodotto vettoriale con le formule?)
ora giacchè ho posizionato $omega$ affinchè fosse perpendicolare al piano che contiene r, il modulo di v sarà sempre dato da $omega*r$, inoltre la direzione di v sarà sempre perpendicolare a r, cioè tangenziale, per il verso faccio valere la regola della mano destra.
fino qui tutto bene?

gio73 ,
il prodotto vettoriale si scrive " \times " tra i dollari , mi pare di aver fatto così . Oppure tra i simboli Latex c'è il V rovesciato .
" il piano che contiene r " non è tanto esatto , dovresti dire : " il piano in cui si svolge il moto circolare" , che contiene quindi la traiettoria circolare . Naturalmente , per fare il prodotto vettoriale , devi considerare $\vec\omega$ applicato sull'asse , $\vecR$ orientato dall'origine al punto : il $\vecV$ è tangente alla circonferenza , quindi perpendicolare a $\vecR$
La risposta dei colleghi...aspettiamo .

[Falco5x]

Non so se ho capito esattamente tutto quello che vuole dire navigatore, però so quello che voglio dire io, e io dico che ovviamente la velocità angolare è un concetto relativo, come tutte le velocità, dunque occorre prima aver definito un sistema di riferimento, altrimenti se non lo definiamo la velocità angolare può essere qualsiasi cosa, e questo è un concetto che nel mio intervento più sopra davo per scontato.
Ciò premesso, se prendiamo un corpo rigido che si muova in questo sistema predefinito, se non ricordo male in ogni istante esiste univocamente un centro istantaneo di rotazione riferito al corpo (che non è necessariamente interno al corpo), e attraverso di esso possiamo far passare un asse istantaneo di rotazione pure esso univoco. Allora tutti i punti del corpo avranno velocità che si ottiene dal famoso prodotto $\vecv=\vec\omega\times\vecr$. E la velocità angolare è proprio quel vettore allineato con l'asse istantaneo che dicevo, non mi pare che si possa dire che può essere anche qualcosa d'altro fermo restando il sistema di riferimento scelto, tantomeno uno scalare. Se però cambiamo il sistema di riferimento allora tutto può essere, però la fisica non può prescindere dai sistemi di riferimento, e quando cambiano i riferimenti cambiano pure tutte le grandezze in gioco e molte equazioni. La terra per esempio, prendendo l'esempio di navigatore, non ruota mica attorno all'asse terrestre... oppure possiamo dire che vi ruota solo se prendiamo un sistema avente l'origine sul centro di massa della terra, con gli assi puntati sulle stelle fisse. Però in realtà la terra ruota anche attorno al sole, dunque se prendiamo un sistema centrato sul sole e avente i 3 assi puntati sulle stelle fisse, il centro istantaneo di rotazione della terra e il suo asse di rotazione istantaneo non sono più quelli di prima. E la velocità angolare non è più la stessa di prima. E il sole? ruota pure lui nella galassia, dunque a questa neverending story si pone fine solo definendo un sistema di riferimento comodo per l'osservatore e misurando le grandezze fisiche con riguardo a esso. Però se rimaniamo in esso e non cambiamo le carte in tavola, il vettore velocità angolare mi pare che per un corpo rigido si possa ben definire istante per istante in modo univoco.
Saluti.

[navigatore]

Falco ,

siamo d'accordo sui sistemi di riferimento , ci mancherebbe ! Siamo troppo smaliziati per non sapere tutti e due che i sistemi di riferimento sono essenziali .
Ma si può fare una Fisica , soprattutto una Meccanica , anche solo con i vettori , senza coordinate cartesiane di mezzo ...

Comunque , quello che dice la Meccanica del corpo rigido , da un punto di vista cinematico ,è in definitiva,il teorema di Mozzi : " Ogni atto di moto rigido è elicoidale " , cioè ogni atto di moto si compone di una rotazione e di una traslazione. Se il moto è piano , si tratterà di un moto rototraslatorio parallelo a questo piano : ma in teoria nessuno vieta che in ogni istante si possa avere una derivata ( uno scalare , quindi) $(d\theta)/dt$ sempre uguale nel tempo , mentre il "centro di istantanea rotazione" cambia da istante a istante . Pensiamo ad es. ad un disco che rotola senza strisciare con velocità angolare costante su una rotaia liscia ....
Io non sarei così drastico da affermare che la velocità angolare esiste "solo " come vettore . In fondo, i vettori sono una utile invenzione umana , che la natura non ha creato.
Nel primo esempio che ho fatto , ho cercato di mostrare che in un corpo rigido rotante ( per semplicità , ho considerato un foglio di carta parallelo ad un piano) , ogni rotazione elementare $\Delta\Theta$ è la stessa in tutti i punti, proprio a motivo della rigidità del corpo , e se dividi per $\Deltat$ e poi calcoli il limite per $\Deltat$ tendente a zero....

In quanto poi alla affermazione da me fatta, che la Terra ruota intorno al proprio asse ....bè , dovresti , anzi hai ( senza il condizionale , perdincibacco !) capito che ho fatto astrazione da tutti gli altri moti , per far comprendere come si determinano le velocità angolari di rotazione del piano dell'orizzonte terrestre intorno all'asse verticale $z$ e all'asse meridiano $x$ , rispetto ad un opportuno osservatore esterno : non pensare che io sia più antigalileiano di quelli che condannarono Galilei , se no che figura fa la nostra categoria ?
Il processo a Galileo aveva anche una sua ragion d'essere : secondo un osservatore terrestre , è il Sole e tutto l'Universo che gira attorno a lui ! E non c'è da scandalizzarsi per questa affermazione , poichè la relatività di tutti i movimenti è proprio la più importante di tutte le scoperte galileiane , secondo me ! E' sembra fin strano che lui, proprio lui che aveva scoperto la relatività del moto , non fosse stato in grado di spiegarlo ai suoi beceri accusatori ! Ma Galilei era vecchio e malato , quando fu posto sotto processo , e forse non aveva la forza di reagire...Lasciamo stare .
Ancor oggi , diciamo : il Sole sorge alle ...e tramonta alle... E questo che cosa è, se non un sistema di riferimento terrestre? I libri di Astronomia illustrano con dovizia i vari sistemi di ccordinate celesti aventi per origine la Terra....

Va bene , per me non c'è equivoco nè contraddizione tra ciò che tu dici e ciò che dico io .

Saluti pure da parte mia .

[Faussone]

Il vettore velocità angolare è uno degli aspetti che quando studiavo meccanica razionale ci ho messo di più a capire: rispetto a cosa si esprime il famigerato vettore $vec(omega)$?

La proprietà fondamentale di cui gode questo vettore è che moltiplicato vettorialmente per un vettore solidale al sistema mobile dà la derivata di quel vettore rispetto al tempo, espressa però eventualmente nelle componenti del sistema solidale. Attenzione questo non significa che la derivata è nulla perché è fatta nel sistema solidale ma solo che le componenti di questo vettore derivato sono riferite ai versori della terna solidale.

Similmente vale per $vec omega$: si calcola in termini di derivata rispetto al tempo dei versori della terna mobile:

$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $

e così espresso le sue componenti sono scritte rispetto alla terna mobile solidale col corpo che ruota.