Oscillatore forzato a regime (soluzione particolare, condiz)

[smaug]

Allora si immagina che in un oscillatore smorzato agisca nel tempo una forza armonica.

Io sono arrivato facilmente a dire che deve valere sull'asse x:

$m\ddot x + b \dot x + kx = F\ \cos (omega *t)$ ed è corretto

Allora le soluzioni dell'omogenea sono in grado di calcolarle, però volevo chiedervi qualcosa sulla soluzione particolare. Il libro suggerisce $x_2(t) = X_0\ \cos (omegat - phi)$

Quindi $\dot x_2(t) = - X_0\ \omega\ \sin (omegat- phi)$ di conseguenza $\ddot x_2(t) = - X_0\ omega^2 \cos (omegat - phi)$

Quindi:

$m (- X_0\ omega^2 \cos (omegat - phi)) + b ( - X_0\ \omega\ \sin (omegat- phi)) + k ( X_0\ \cos (omegat - phi)) = F\ \cos (omega *t)$

Mi viene uguale al libro solo che lui usa le formule di addizione/sottrazione e poi dice quello che non capisco: Affinchè la precedente sia identicamente soddisfatta è necessario che i coefficienti dei termini in $\cos omegat$ e $\sin omegat$ nei due membri siano uguali.

Se voleste aiutarmi magari ve le scrivo, così fate copia/incolla

$\cos (omegat - phi) = \cos \ omega t\ cos \phi + \sin \omega t\ sin phi$

$\sin(omegat - phi) = \sin omega t\ cos \phi - cos \omega t \sin \phi$

Insomma infine il libro dice che si dovrebbe arrivare a due equazioni, ma non ho ben capito come:

$X_0(k - m \omega^2) \cos phi + bX_0 \omega \ sin \phi = F,$

$(k - m \omega^2) \sin \phi - b\ \omega \cos \phi = 0$

Grazie mille ragazzi siete fantastici!!!

[navigatore]

smaug ,

io non faccio nè copia nè incolla , ma ti dico semplicemente : sviluppa il 1° membro con le formule di addizione e sottrazione che hai scritto ( spero siano giuste ! ) , poi al primo membro raggruppa i termini in $sen(\omegat)$ ,e quelli in $cos(\omegat)$ .
E' chiaro che , avendo al secondo membro la quantità $F*cos(\omegat) $ , il coefficiente di $cos(\omegat)$ al primo membro dovrà essere uguale ad $F$ . Invece , il coefficiente di $sen(\omegat)$ dovrà essere uguale a zero , poichè al secondo membro non ci sono quantità col seno .

Prova tu , io non faccio questi calcoli .

[smaug]

Navigatore ti ringrazio immensamente, era banale, ma non so perchè non avevo capito.

Sia chiaro che io non pretendevo che nessun utente del forum mi facesse vedere i conti, la tua risposta è stata perfetta, mi ha permesso di capire come potessi fare

Grazie ancora

[smaug]

Allora un'altra cosa:

da $(k - m \omega^2) \sin \phi - b\ \omega \cos \phi = 0$ è facile ricavarsi che $\tan \phi = (b \omega) / (k - m\ \omega^2) = (b\ \ omega) / (m(omega_0^2 - omega^2))$ se $omega_0 = \sqrt{k/m}$

Ma da $X_0(k - m \omega^2) \cos phi + bX_0 \omega \ sin \phi = F$ dovrei ricavarmi:

$X_0 = F / (\sqrt{m^2(omega^2 - omega_0^2)^2 + b^2omega^2})$

e a me esce un pò diversa, quella radice non capisco da dove salta fuori...

Grazie

[navigatore]

Allora un'altra cosa:

da $(k - m \omega^2) \sin \phi - b\ \omega \cos \phi = 0$ è facile ricavarsi che $\tan \phi = (b \omega) / (k - m\ \omega^2) = (b\ \ omega) / (m(omega_0^2 - omega^2))$ se $omega_0 = \sqrt{k/m}$

Ma da $X_0(k - m \omega^2) \cos phi + bX_0 \omega \ sin \phi = F$ dovrei ricavarmi:

$X_0 = F / (\sqrt{m^2(omega^2 - omega_0^2)^2 + b^2omega^2})$

e a me esce un pò diversa, quella radice non capisco da dove salta fuori...

Grazie

Esce , esce ....

Ricava da : $X_0(k - m \omega^2) \cos phi + bX_0 \omega \ sin \phi = F$ la quantità $X_0 $ , e sostituisci a $k$ il valore $m*\omega_0^2$ .

Dopo alcuni passaggi , troverai : $ X_0 = F/(m(\omega_0^2-\omega^2)*cos\phi*( 1 + tg^2\phi ) ) $

E poichè : $ cos \phi = 1/sqrt(1+tg^2\phi) $ , basta sostituire questa nella precedente , per ottenere :

$X_0 = F/ (m(\omega_0^2-\omega^2)*sqrt(1+tg^2\phi)) $

Ora , porta dentro radice $m(\omega_0^2-\omega^2)$ , e ricordati che cosa è $tg^2\phi $ : sei arrivato al capolinea .

[smaug]

Dopo alcuni passaggi , troverai : $ X_0 = F/(m(\omega_0^2-\omega^2)*cos\phi*( 1 + tg^2\phi ) ) $

Io sono arrivato qui:

$X_0 = F / (m(omega_0^2 - omega^2)\cos\ \phi + b\ \omega \sin \phi)$

Poi non ho capito bene come hai fatto a farti uscire la tangente, hai messo in evidenza il coseno, ma poi? Grazie ancora

[navigatore]

Io sono arrivato qui:

$X_0 = F / (m(omega_0^2 - omega^2)\cos\ \phi + b\ \omega \sin \phi)$

Poi non ho capito bene come hai fatto a farti uscire la tangente, hai messo in evidenza il coseno, ma poi? Grazie ancora

Asma' , ma ce sei o ce fai , dicheno a roma ...li voi proprio tutti li pasaggi ! Nun voi lavorà de cervello e de penna...

Vabbè , pe stavorta t'accontento ...

Ar denominatore de la frazione tua , metti in evidenza $ m(omega_0^2 - omega^2)\cos\ \phi $ , sicchè er denominatore diventa : $ m(omega_0^2 - omega^2)\cos\ \phi [ 1 + (b^2\omega^2)/(m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2)] $
( ho sartato er pasaggio ntermedio , indove c'è la $tg\phi $ , che te lo fai te ....

E mo è 'no scherzo de regazzini .... la parentesi quadra ar denominatore diventa $[1+tg^2\phi] $ .....

e poi te rileggi er mio post ....E vedrai che viene .

[smaug]

ahahahaha spettacolare! Grazie mille

[smaug]

Vorrei riprendere un attimo questo post per parlare un pochino anche di risonanza meccanica, che in pratica non ho capito assolutamente cosa sia!

\[m\ddot x + b\dot x+kx = F\cos(\omega t)\]

Da questa analiticamente abbiamo visto come giungere a delle espressioni, però tornando su quest'argomento, non ho capito ancora cosa sia la risonanza meccanica!

Grazie mille!