Si deduce considerando $a$ ortogonale a $r$
Cosa chiaramente falsa
Potresti giustificare questa tua affermazione?
Deriva dal fatto che a non è ortogonale a r.
Le relazioni del puro rotolamento vanno usate con cautela...partiamo dal primo punto:
L'accelerazione dei punti di un corpo rigido sono legate dalla relazione:
$veca(P)=veca(Q)+vecalpha xx (P-Q)-omega^2(P-Q)$
Questa relazione lega tra loro le accelerazioni di due punti P e Q del corpo rigido...essa è utile quando conosci l'accelerazione di almeno un punto Q del corpo, così ti puoi determinare l'accelerazione di tutti gli altri punti P.
Nel tuo caso, il punto O di contatto col terreno, in puro rotolamento, è istantaneamente fermo, ossia ha velocità nulla, ma non ha assolutamente accelerazione nulla!, il punto O ha accelerazione $a(O)=omega^2R$ diretta verticalmente in alto, quindi da cui puoi determinare l'accelerazione del CM, ma la sua direzione è del tutto incognita, perché è somma del vettore $a(O)$ verticale, del vettore $vecalphaxx(P-O)$ ortogonale a r e del vettore $-omega^2(P-O)$ parallelo a r.
Le relazioni $omega=v/r$ e $alpha=a/r$ nel puro rotolamento valgono solo nel caso di elementi circolari, e si riferiscono, nel caso dell'accelerazione, solo all'accelerazione tangenziale del punto di contatto.
Ossia, se prendi un disco di centro C che rotola senza strisciare su un piano con accelerazione di C pari ad $a$, detto O il punto di contatto, il punto di contatto è istantaneamente fermo e la sua accelerazione tangenziale è nulla, ossia vale $alpha=a/R$, essendo $alpha$ l'accelerazione angolare del disco, mentre O possiede ancora una accelerazione centripeta pari a $omega^2R$. Quindi, nel tuo caso, non puoi usare l'accelerazione $a$ del CM per la relazione di puro rotolamento, ma devi usare sempre l'accelerazione del centro del disco C, che sarà sempre orizzontale. In pratica, le coordinate di C sono:
$x_c=x$
$y_c=R$
Derivando due volte:
$ddot(x_c)=ddotx$
$ddoty_c=0$
Ossia il centro C del disco ha solo accelerazione orizzontale $ddotx$.
Quindi, l'accelerazione angolare del disco, e quindi di tutto il sistema, è:
$ddottheta=ddotx/R$
Per quanto riguarda il CM, si ha:
$x_G=x+dsintheta$
$y_G=R+dcostheta$
Derivando due volte trovi l'accelerazione del centro di massa