da goblyn » 12/10/2003, 01:14
Ciao vecchio!
Sia Q il punto in cui c'è la carica q al tempo t. P sia invece il punto nel quale si voglia calcolare il campo magnetico. La direzione della velocità (se non ho capito male) è perpendicolare ad un piano che contiene Q e P.
Il problema di trovare l'espressione del campo elettromagnetico di una carica in movimento è tutt'altro che banale... Esistono delle formule (se t'interessa ti fornirò qualche dettaglio in più) che forniscono i potenziali elettrico e magnetico (e quindi i campi). Tali formule si semplificano se v<<c. Supponiamo che tale ipotesi sia verificata (poi la controlliamo a posteriori), allora le formule approssimate sono:
V(<b>P</b>,t) = 1/(4*pi*epsilon) * q/r (l'espressione solita insomma)
<b>A</b>(<b>P</b>,t) = mu/(4*pi) * q<b>v</b>/r (anche qui niente di sorprendente)
Le espressioni date sono familiari perché v<<c.
Ricordo che (per definizione) il campo magnetico B:
<b>B</b> = rot(<b>A</b>)
Nel nostro caso quindi:
<b>B</b> = rot(<b>A</b>) = mu/(4*pi) * q/r * rot(<b>v</b>)
Non conosciamo però il campo di velocità, ma solo la velocità nel punto Q all'istante t (e qui ci sarebbe da fare qualche considerazione a proposito delle approssimazioni introdotte prima...).
<b>v</b>(<b>Q</b>,t) = ( 0 , 0 , v ) <i>in un sist. di rif . xyz)</i>
Ricorriamo allora alle equazioni di Maxwell (sempre supponendo v<<c) che ci danno:
<b>E</b> = -q/(4*pi*epsilon) * <b>e</b>/(r^2)<div align=right>(*)</div id=right>
<b>B</b> = -1/c <b>e</b> x <b>E</b>
dove <b>e</b> è il versore orientato da P verso Q, mentre x denota il prodotto vettoriale.
<b>e</b> = ( -1 ; 0 ; 0 )
L'equazione (*) è però un po' troppo approssimata... o meglio, il versore <b>e</b> è approssimato. Infatti dopo un tempo dt il versore <b>e</b> non è più (-1;0;0) ma (-1;0;v*dt) (non posso entrare troppo nei dettagli!). Bisogna considerare qualche termine aggiuntivo. Un'espressione un po' più accurata è:
<b>E</b> = -q/(4*pi*epsilon) * [ <b>e</b>/(r^2) + (1/r^2)*(0;0;v/c) ]
= -q/(4*pi*epsilon*r^2) * (-1;0;v/c)
Il campo B (svolgendo il prodotto vettoriale) è allora:
<b>B</b> = q/(4*pi*epsilon*c*r^2) * (0;v/c;0)
e quindi:
|<b>B</b>| = qv / (4*pi*epsilon*(c*r)^2)
da cui
v = 4*pi*epsilon*(rc)^2 / q
o anche, ricordando che 1/c^2 = mu*epsilon:
v = 4*pi*B*r^2 / (q*mu)
Sostituendo i dati:
v = 100 km/s circa
v/c = 0,000333 e quindi l'approssimazione v<<c è lecita.
Modificato da - goblyn il 12/10/2003 02:19:19