Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda AndrewX » 13/06/2019, 07:47

Salve! Ho un dubbio riguardo a come affrontare esercizi di dinamica delle macchine da risolvere con i parametri lagrangiani.

In particolare supponiamo di avere una carrucola fissa, su un soffitto, attorno a cui è avvolta una fune. All’estremita Destra della fune vi è una massa M.

Ora, il sistema ha 1gdl. Fisso un sdr Con X rivolto verso l’alto, Y verso destra e quindi Z entrante nel piano del foglio.
Il parametro lagrangiano che scelgo è la quota X1 della massettina. Devo esprimere la rotazione della puleggia in funzione di questo parametro.
So che a una traslazione x1 della massa (mettiamo negativa ovvero verso il basso) corrisponde una rotazione oraria (cioè positiva) della puleggia. Mi verrebbe quindi da dire che X1= -RO, con R raggio puleggia e O angolo di rotazione della puleggia.

Solo che il libro mette x1= RO positiva...come mai? Come dovrei procedere? Perché fissare il sdr e poi non considerarlo mi sembra un po’ strano...
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda professorkappa » 13/06/2019, 12:43

Per come hai scelto il sdr hai ragione tu (anche se non e' convenzionale scegliere x come asse verticale. Non sbagliato, ma strano).
Forse il libro conta le rotazioni antorarie come positive?
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda AndrewX » 13/06/2019, 13:18

Sì in effetti x verticale fa un po’ strano, ma era solo perché dal libro non vengono mai messi i sdr e quindi poi orientarsi con le relazioni date diventa un po’ un problema... comunque grazie per la conferma!

a questo punto però avrei bisogno di una precisazione, che riguarda il caso in cui abbiamo due alberi posti con assi ortogonali tra loro (o comunque incidenti) che sono collegati da un riduttore a ruote coniche.
Il sistema ha un grado di libertà e quindi tramite il rapporto di trasmissione del rotismo, che suppongo noto, devo legare la rotazione dei due alberi, il che è banale. Ma da un punto di vista dei segni, cosa accade? So in generale che se ruotano in verso opposto ci andrà un meno di mezzo e ok, ma poiché poi il parametro lagrangiano deve comunque essere riferito al sdr che utilizzo, in questo caso mi conviene prendere due sdr lungo gli assi (inclinati tra loro) di tali alberi? È possibile una cosa del genere?
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda professorkappa » 13/06/2019, 14:24

Il bello del fatto che la scelta di un sdr sia arbitraria e' proprio che ti scegli il sdr che preferisci.
Io, personalmente, preferisco cercare di riprodurre, se possibile, quello che accade. per esempio per la puleggia con massa appesa, io sceglierei origine nel centro della puleggia, asse verticale verso il basso e rotazioni orarie, in modo che non mi appaiano fastidiosissimi segni negativi (che tendo a dimenticare).
Oppure sceglieri asse verso l'alto e rotazioni antiorarie, per lo stesso motivo. Dipende da come viene meglio a te, e' un tipico caso di forma mentis.
Per gli assi coincidenti, sceglierei la rotazione del primo asse come parametro lagrangiano. L'altro asse ruotera' presumibilmente in un certo verso che puoi"visualizzare": quella per me sara' la rotazione positiva di modo che sia $theta_2=R_1/R_2theta_1$ senza il segno meno.
Fai come ti pare, basta che tu mantenga la congruenza
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda AndrewX » 13/06/2019, 18:00

Grazie! Purtroppo, essendo ancora all’inizio, devo ancora trovare un modo che mi risulti semplice...

Quindi ecco, in generale, per un sistema di N corpi rigidi comunque vincolati fra di loro, posso scegliere in pratica N sdr differenti, “specifici” per ciascun corpo ?

Quindi, nel caso dei due alberi incidenti, se fisso 2 sdr tali per cui l’effettiva rotazione che si stabilisce nei due alberi risulti positiva nei 2 sdr “locali”, allora anche se di fatto ruotano in maniera discorde, la relazione che lega le due rotazioni tramite il parametro lagrangiano risulta positivo. Corretto?

(Scusa se insisto ma vorrei essere 100% sicuro, per evitare che magari mi venga un dubbio simile e ricominciar tutto da capo...)
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda professorkappa » 13/06/2019, 20:02

AndrewX ha scritto:Quindi ecco, in generale, per un sistema di N corpi rigidi comunque vincolati fra di loro, posso scegliere in pratica N sdr differenti, “specifici” per ciascun corpo ?

In pratica, si.

AndrewX ha scritto:Quindi, nel caso dei due alberi incidenti, se fisso 2 sdr tali per cui l’effettiva rotazione che si stabilisce nei due alberi risulti positiva nei 2 sdr “locali”, allora anche se di fatto ruotano in maniera discorde, la relazione che lega le due rotazioni tramite il parametro lagrangiano risulta positivo. Corretto?


Si. Ti basta assegnare le rotazioni ad ogni albero come pensi che girino. Se il tuo sesto senso ti porta fuori strada te ne accorgi perche alla fine dei conti le incognite che cercavi ti vengono negative. O hai sbagliato, oppure non gira come pensavi. Il caso di due alberi e' talmente banale che propenderei per "hai sbagliato"
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Re: Parametri lagrangiani e relazione con le altre variabili del sistema

Messaggioda AndrewX » 14/06/2019, 07:24

Perfetto! Quindi in effetti conviene prima immaginare come si muove il sistema, scegliere il parametro lagrangiano e fissare i sdr locali in modo tale che risultino positive le relazioni che legano il parametro lagrangiano con le altre grandezze del sistema... perlomeno si evita di portarsi dietro tutti i segni...
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