C'è un altro problema che mi dà del filo da torcere. Qui probabilmente conta la mia scarsa abilità matematica.
Si tratta di trovare il valore del campo gravitazionale prodotto da un anello massiccio, in un punto dell'anello stesso.
Procedo così. Centro l'anello nell'origine, voglio trovare il campo nel punto $P$ in cui l'anello interseca l'asse $y$. Condidero un elemento $ds$ dell'anello, che forma un angolo $theta$ con l'asse $y$. Voglio integrare gli effetti dei $ds$ su $P$, con $theta$ che varia fra $0$ e $pi$. Considero solo la componente $y$, dato che la componente $x$ è compensata dall'altra metà dell'anello.
La distanza di $P$ da $ds$ è $2 sin (theta/2)$ (considero il raggio unitario). Quindi, tralasciando le costanti, l'effetto di $ds$ su $P$ (il modulo del vettore) è $1/(4sin^2(theta/2))$.
Di questo vettore interessa la componente $y$, il modulo va quindi moltiplicato per il coseno dell'angolo fra questo vettore e l'asse $y$. Questo angolo è $(pi - theta)/2$.
In conclusione c'è da integrare $int cos((pi - theta)/2)/(4sin^2(theta/2))d theta$, fra $0$ e $pi$.
Poi direi che $cos((pi-theta)/2)$ coincide con $sin(theta/2)$ per cui si semplifica e diventa $int 1/(4sin(theta/2))d theta$
Infine, con un cambio di variabile $alpha = theta/2$, dovrebbe diventare $int 1/(2sin(alpha))dalpha$, integrato fra $0$ e $pi/2$
Beninteso non ci provo neppure, ma il fatto è che, dato in pasto a Wolfram Alpha, mi dice che l'integrale diverge, cosa non mi aspetto proprio. Mi sapete dire dove sta lo sbaglio?