Aiuto per soluzione esercizio

[gdiisimone]

ciao a tutti la prof mi ha dato questo esercizio:

Una carica pari a 2µC di massa m pari a 20g viene posizionata all’interno di una sfera di raggio R=70cm avente una densità di carica di volume ρ(R) = K*R con K=20 µC/m4 nel punto A a distanza R/2 dal centro della sfera. Assumendo che la carica q sia inizialmente ferma, determinare la sua velocità quando esce dalla sfera.

Per me la soluzione doveva essere quella di calcolare il potenziale sulla superficie sferica di raggio r come
V(r)=q/(4*pi*εo) e tenendo conto che dL=Vdq e dq=ρ(r)*4*pi*(r^2)dr e poi ottenere l'energia elettrostatica integrando dL fra R/2 e R e successivamente ottenere la velocita della corica con il teorema di conservazione dell'energia.
Ma la prof. è invece partita da quest'equazione (CHE NON HO CAPITO) che porta a un risultato diverso:
dV=E(r)*dw dove dw=4*pi*(r^2)dr e dovrebbe essere il volume dello strato sferico di spessore dr.
Qualcuno mi può gentilmente aiutare?

[mgrau]

Effettivamente, se intendiamo $V$ come il potenziale e $E$ come il campo elettrico, e visto che $dw$ è un volume, la relazione $dV=E(r)*dw$ è un po' strana, visto che dovrebbe essere $dV = E(r)dr$.
Ma anche il tuo procedimento non mi è chiarissimo: va bene che $V(r) = 1/ (4piepsi_0) * q /r $ (e mi pare che hai dimenticato un $r$), ma devi trovare $DeltaV$ fra $R/2$ e $R$, quindi devi trovare $q(R/2)$ e $q(R)$, e basterà integrare $intrho(r)4pir^2dr$, una volta fra $0$ e $R/2$ e un'altra fra $0$ e $R$

[gdiisimone]

si hai ragione scusa; grazie mille

[gdiisimone]

scusami mi sfugge ancora la formula per passare dalla carica al potenziale. Gentilmente quale hai usato?

[mgrau]

Il potenziale di una carica puntiforme $q$ è dato da $V(r) = 1/ (4piepsi_0) * q /r $

[gdiisimone]

Il potenziale di una carica puntiforme $q$ è dato da $V(r) = 1/ (4piepsi_0) * q /r $

[gdiisimone]

un ultimo dubbio (visto che non mi viene lo stesso risultato della prof):
combinando le formule otterei

$V(R)-V(R/2)$=\( \int_R^{R/2}\ \frac{1}{4πεo}\frac{1}{r}kr4π r^2 \text{d} r \)

E' corretto?

[mgrau]

A me però non piace mescolare tutto in una sola formula risolutiva, non ci capisco più niente.
Hai trovato quant'è la carica nella sfera di raggio $R/2$? E nella sfera di raggio $R$?
Una volta che hai queste, $Q_1$ e $Q_2$, $DeltaV = 1/(4piepsi_0)(Q_1/(R/2) - Q_2/R)$