Esercizio di relatività 2

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Nella prima parte non devi fare nessuna trasformazione di L. Il riferimento del cdm¹ coincide col riferimento del laboratorio, e quindi basta così. Le due particelle si attaccano insieme, non c'è una velocità finale della particella "somma" rispetto al laboratorio, no ?

Ma vedo che sei arrivato da solo alla conclusione giusta !

Nella collisione frontale di due particelle uguali, come nel caso in esame, tutta l'energia è disponibile per l'interazione, non occorre energia per "muovere" il cdm del sistema. Quindi l'energia finale è semplicemente il doppio di quella di una particella.

Ricordati sempre questi punti fondamentali, per una particella in moto :

$E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2 $ -------(1)

la quantità a primo membro è dunque invariante , in ogni riferimento variano sia $p = \gammamv$ che $E= \gammamc^2$, ma quella differenza è costante, è l'energia di riposo della particella (al quadrato, ovvio).

Formalmente , questo si può vedere anche così . Hai presente il 4-intervallo ST ? È un invariante :

$(c\Deltat)^2- (\Deltax)^2 $ = invariante. (sai bene a che cosa è uguale questo invariante) .

ora, fai corrispondere $(c\Deltat )$ all'energia $E$ , e $(\Deltax)$ al prodotto $pc$ ( dove $p = \gammamv$ ) . Questa è la stessa corrispondenza che ho richiamato per scrivere la TL del 4-impulso, ricordi ?

Bene : se formalmente sostituisci queste due quantità nell'espressione del 4-intervallo, ottieni proprio il 1° membro della (1).

L'invariante lo abbiamo già definito : è l'energia di riposo di $m$.

Per un sistema di particelle, si definisce 4-impulso del sistema la somma dei 4-impulsi delle singole particelle, ovviamente vanno sommati i termini energetici tra loro e i termini spaziali tra loro. Cioè :

$vecP = (\Sigma_iE_i/c , \Sigma_i vecp_i) = (E/c, vecp) $

il 4-impulso si conserva nelle interazioni tra particelle.La norma del 4-impulso è invariante. Nel sistema del centro di massa si ha semplicemente :

$vecP = (Mc, vec0) $ (il fattore $\gamma$ nella espressione dell'energia di una particella : $ E = \gammaMc^2$ è ora uguale a $1$, visto che il centro di massa è in quiete rispetto a se stesso) .

Conservandosi il 4-impulso, si ha che : $ (E/c)^2 - p^2 = (Mc)^2 $ , la quale è del tutto equivalente all'espressione dell'energia :

$E^2 - (pc)^2 = (Mc^2)^2$

e questa non è altro che l'energia di riposo di $M$, ovvero l'energia nel centro di massa del sistema.

Questa materia è affascinante ma è difficile, perché fuori dai nostri schemi soliti della meccanica classica. Anch'io ho le mie brave difficoltà, e talvolta mi accorgo di non riuscire a spiegare le cose come vorrei. Oltretutto sono un dilettante, e neanche un fisico. Pensa che una volta mi hanno detto di astenermi dal parlare di relatività perché sono un ingegnere!

E allora, siccome nessuno inventa niente qui, ogni tanto faccio ricerche, e trovo cose buone. Per esempio, questa bella dispensa di Paramatti sulla cinematica relativistica, dove trovi meglio detto tutto quanto ho cercato di spiegarti, incluso il calcolo della velocità del cm di un sistema di particelle rispetto al laboratorio, fatto con le TL (per cui guarda a pag 13) : è la stessa trasformazione che ho fatto io, limitandomi alla sola componente spaziale di $P$ .

Spero sia chiaro.

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Note

1. che sarebbe più giusto chiamare "riferimento del centro di qdm spaziale totale nulla", perché rispetto ad esso $\Sigmavecp = 0 $ ; comunque molti autori dicono per semplicità riferimento del cdm, altri autori avvertono che ci possono essere dei casi in cui il cdm non coincide con tale punto: io non ne ho trovati, ma se lo dicono loro... ) ↑

[judoca92]

Grazie mille, grazie a te ora molte più cose mi sono chiare.
Avrei altri esercizi di relatività d proporre, in seguito.
Sarei grato se darseti un'occhiata

[navigatore]

……..
Sarei grato se darseti un'occhiata

Proponi pure altri esercizi, vedremo se sarò in grado di aiutarti. Forse ne proporrò anch'io qualcuno.
Però, mentre impari la relatività non dimenticare l'italiano (non l'errore di battitura, ma il condizionale "daresti" ….. ).

Giacchè ci sono, faccio anche un altro chiarimento su questo che ho scritto :

Il risultato (2) ci dice che la massa M=2γ(v)m è superiore alla somma 2m delle masse delle particelle incidenti : la massa è aumentata ? Bisogna tener conto che nelle collisioni ciascuna particella porta con sé anche energia cinetica, quindi M tiene conto non solo della massa di riposo delle due particelle ma anche della loro energia cinetica. Come si sa, l'energia relativistica è composta di energia di risposo più altre forme di energia, tra cui principalmente la cinetica, quindi non è pura e semplice massa.

L'energia di ciascuna particella in moto (primo caso) è somma della energia di riposo e della energia cinetica (trascurando altre forme di energia) :

$E_1 = m_1c^2 + K_1$
$E_2 = m_2c^2 + K_2$

nel nostro caso , $m_1=m_2=m$ e anche $K_1 = K_2 = K$

Quando le due particelle collidono restando unite, in quiete nel laboratorio, la massa diventa $M$ e l'energia quindi è solo energia di riposo :
$ E = Mc^2$
Ma l'energia relativistica si conserva, come abbiamo visto usando i 4-impulsi, perciò :

$ E =E_1 + E_2 = 2mc^2 + 2K =2(mc^2+K) $

e siccome sappiamo che :$ mc^2 +K = \gammamc^2$ , si ha che :

$Mc^2 = 2\gammamc^2$

Percio si può anche scrivere : $M = 2\gammam >2m$

In termini energetici , l'energia di riposo della particella finale $Mc^2$ è superiore alla somma delle energie di riposo delle particelle incidenti $2mc^2$ , perché anche tutta l'energia cinetica $2K$ diventa energia di riposo di $M$ : infatti $M$ è in quiete.

Ci sono maniere a mio parere imprecise di esprimere questo fatto :

1) l'energia cinetica $2k$ si è trasformata in "massa"
2) la massa finale $M$ è aumentata rispetto alla somma delle masse delle particelle $2m$

È molto meglio dire invece che una forma di energia, la cinetica, si trasforma in un'altra forma di energia , l'en. di riposo , nel caso in esame. Ma può succedere anche il contrario, per esempio in un decadimento spontaneo di una particella una parte dell'energia di riposo della stessa serve a fornire l'energia cinetica alle particelle generate nel decadimento : altrimenti, chi darebbe alla particella "madre" l'energia necessaria per far viaggiare le particelle "figlie" ? È una cosa talmente ovvia, direi, che non vale la pena di pensare ad altri arzigogoli.
Che cosa costa ricordarsi che nella relazione : $M = 2\gammam$ c'è in realtà un fattore $c^2$ da una parte e dall'altra, che dà il giusto significato alla trasformazione della energia, nel processo che abbiamo visto ?

Tuttavia, alcuni autori dicono che nelle interazioni tra particelle la massa può convertirsi in energia e viceversa l'energia in massa. Cioè, la legge di conservazione della massa in relatività non è valida, nel senso che la massa totale delle particelle interagenti non si conserva , quella che si conserva è l'energia totale .Per esempio in un urto :

$\Sigma_iE_i = \Sigma_fE_f $ , e cioè : $\Sigma_iK_i + \Sigma_im_ic^2 = \Sigma_fK_f + \Sigma_f m_fc^2$

dove $i$ ed $f$ s riferiscono a "iniziale e finale" . Quindi i due termini, cinetico e di massa ,non si conservano separatamente.

Ma lo abbiamo visto prima. L'energia di riposo (detta anche energia di massa) non si conserva, può trasformarsi in parte in energia cinetica (in un senso o nell'altro, cioè aumentando o diminuendo a seconda del processo) o in altre forme di energia, come ad esempio in una reazione chimica in cui si libera una certa quantità di energia $\DeltaE$ (che non è ora en. cinetica) . Corrispondentemente, si considera una variazione della massa pari a $\Deltam = (\DeltaE)/c^2$ .
E forse è più giusto così . Un esempio importante di massa che si trasforma in energia viene dal Sole : ogni secondo il Sole irradia circa $ \DeltaE = 4*10^(26) J $ di energia, che quindi danno luogo ad una diminuzione della massa pari a $(\DeltaE)/c^2 = 4.4*10 ^ 9 kg$ , cioè circa 4,4 milioni di tonnellate al secondo ! PER noi umani è una quantità enorme , ma per il Sole stesso , che ha una massa di circa $2*10^(30) kg$ , è una percentuale molto piccola.

Comunque , vista l'equivalenza tra massa ed energia, sarebbe forse il caso di eliminare del tutto il concetto di massa, almeno in relatività . Questo lo diceva anche Albert Einstein.