Corpo in caduta

[mathbells]

Moderatore: mathbells

@stormy
Ho letto il tuo ignobile messaggio di poco fa. Questa volta hai passato il segno e ne pagherai le conseguenze. E comunque ti richiamo ufficialmente per la seconda volta.

[sluca87]

Ok vedo che stiamo andando OT...
A me le vostre beghe interne non interessano...vedetevela da un'altra parte.

Tornando all'argomento quindi posso prendere per buona la formula $F=m(√2gh)/(Δt)$
Da altre fonti ho scoperto che quel $Δt$ può essere considerato 1 millesimo di secondo nel caso di un cavo d'acciaio indeformabile, portando ad un risultato di 693kN (il moschettone si spezza). Per quanto riguarda le corde da arrampicata, sono costruite per deformarsi e attutire la caduta, arrestandola in un tempo più lungo (sopra i 0,1s), portando quindi il risultato ad un più ragionevole 6kN (ho preso come tempo 0.1s).

Rispondendomi quindi:
Cadendo da 5m, io che peso 70kg, imprimo al moschettone una forza di 6kN, abbondantemente sotto il punto di rottura.
Per arrivare ai 24kN, considerando che maggiore è l'altezza di caduta e maggiore sarà la deformazione della corda e quindi il tempo di arresto (prendo per buono 1s), dovrei cadere da un'altezza di 6000m.

[navigatore]

Certo, abbiamo detto che il tempo tra inizio allungamento del cavo e rottura dello stesso dipende molto dalla elasticità della fune. Più è grande questo, più tempo impiega a rompersi.

Ma non esistono corpi indeformabili, cioè assolutamente rigidi. Anche i cavi di acciaio si deformano prima di rompersi per trazione. Prima di mettere in opera dei cavi di acciaio, qualunque sia l'applicazione, essi vanno sottoposti a prova di rottura per trazione su campioni, prelevati dal cavo stesso, su dei banchi di prova particolari . Ne ho collaudati a migliaia, destinati ad applicazioni navali. Esistono naturalmente delle norme di collaudo specifiche, che dettano le condizioni e le tipologie di prova a seconda delle tipologie di cavi, anche queste rigidamente codificate. Ma non è il caso di scendere in dettagli.

Sicuramente anche i cavi di cui tu parli vengono collaudati secondo apposite norme, e pure i moschettoni devono esserlo : si tratta di vite umane appese a un filo e a un gancio !

E poi, tieni comunque presente che rispetto ai carichi di rottura si assumono dei coefficienti di sicurezza, variabili ma sicuramente molto elevati per quanto riguarda cavi e attrezzature di sollevamento o di sostegno. Anche qui, è tutto scritto nelle norme applicabili. Probabilmente il moschettone dato per buono fino a 24 kN ha un carico di rottura almeno 2.5 volte maggiore, se non di più. Non lo so.

[mathbells]

Ho letto l'articolo sulle funi da alpinismo, ma non ho ben capito come si deformano in caso di caduta e come fanno a mantenere costante la forza impressa al disgraziato precipitato, indipendentemente dall'altezza da cui è caduto. Ma siccome so come funziona un elastico, posso dire che quelle corde non rispondono ad un modello elastico. Infatti, nel caso elastico, si ricava semplicemente una formula che fornisce la forza massima sviluppata dalla corda, e tale forza dipende dall'altezza di caduta. Nel caso del modello elastico, se supponiamo di conoscere la costante elastica $k$ della corda, possiamo fare a meno di "tirare a indovinare" la durata $\Delta t$ dell'impulso.

Supponiamo che la caduta sia pari ad $h$ (cioè $h$ è la distanza percorsa da chi cade prima che la corda sia inizi a tendersi) e che la corda sia schematizzabile come un elastico di costante $k$. Poniamo lo zero dell'energia potenziale gravitazionale al livello in cui la corda inizia a tendersi. Dalla conservazione dell'energia, si ricava

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=-mg\Delta l +\frac{1}{2}k\Delta l^2 \)


dove $v$ è la velocità di caduta quando la corda inizia a tendersi, cioè \(\displaystyle v=\sqrt{2gh} \), e $\Delta l$ è l'allungamento massimo della corda nell'istante in cui la velocità di caduta si azzera.

Dunque si ha

\(\displaystyle \frac{1}{2}k\Delta l^2 -mg\Delta l -mgh=0 \)

Siccome le funi alpinistiche non sono certo le corde del bungee jumping, è ragionevole supporre che \(\displaystyle \Delta l \ll h \) e quindi si ottiene

\(\displaystyle \Delta l =\sqrt{\frac{2mgh}{k}} \)

e quindi la forza esercitata dalla corda al massimo della sua estensione è data da

\(\displaystyle F_{max}= k\Delta l = \sqrt{2mghk} \)

Quindi, nel caso di modello elastico, la forza massima esercitata dalla corda sulla persona caduta dipende dall'altezza.

Si può provare a fare una stima. Non ho idea del valore di $k$, ma possiamo supporre (si potrebbe fare la prova...) che se una corda si allunga di mezzo centimetro sotto il peso di 70kg del nostro amico scalatore, la sua costante $k$ vale circa 140000 N/m. In tal caso, se si cade da 5m, la forza massima esercitata dalla corda è di circa 31kN

[professorkappa]

\(\displaystyle F_{max}= k\Delta l = \sqrt{2mghk} \)

Quindi, nel caso di modello elastico, la forza massima esercitata dalla corda sulla persona caduta dipende dall'altezza.

Domanda 1: tu hai due spezzoni della stessa corda. Uno lungo 10m e uno lungo 20m.
Vuoi allungare entrambi gli spezzoni di 1 cm. La costante elastica della corda e' K.
Qual e' il rapporto tra le forze che devi applicare a ogni corda per ottenere l'allungamento di 1 cm?

Domanda 2: Al primo spezzone applichi 30N per ottenere 3cm di allungamento. Che forza devi applicare allo spezzone da 20m per ottenere lo stesso allungamento di 3cm?

[mathbells]

1) il rapporto è 1
2) sempre 30 N

Credo di non capire...forse mi sfugge qualcosa di banale...ma la legge di Hooke non mi pare dipenda dalla lunghezza di riposo dell'elastico...o no ?

$F = k\Delta l$

Cosa sbaglio ?

[professorkappa]

1) il rapporto è 1
2) sempre 30 N

Credo di non capire...forse mi sfugge qualcosa di banale...ma la legge di Hooke non mi pare dipenda dalla lunghezza di riposo dell'elastico...o no ?

$F = k\Delta l$

Cosa sbaglio ?

Esattamente il fatto che la legge di Hooke tiene in considerazione proprio la lunghezza iniziale della corda;

La forza da applicare per ottenere uno spostamente $\Delta l$ e' la meta' per la corda di lunghezza doppia.

\( F=\frac{YS}{L}\Delta l = k\Delta l\)

Dove Y e' il modulo di Young, S la sezione della corda, L e' la lunghezza a riposo.

Allora se riprendi la forza massima che hai scritto tu, e sostituisci quel k, mettendoci $h=l$, ti rendi conto che la forza diventa praticamente indipendente dall'altezza di caduta.

E' cosi rispondi anche alla tua domanda "come fanno a mantenere costante la forza impressa al disgraziato precipitato, indipendentemente dall'altezza da cui è caduto": non gli interessa sapere da dove cadi, gli interessa sapere quanto pesi e prendono come riferimento un peso di 800N. Y ed S fanno il resto.

[Дэвид]

Per fare la morale: controlla sempre la corda palmo a palmo ogni volta che esci, evita di fare l'eroe saltando 25 rinvii e sei a posto. Per il resto dovresti essere coperto.

[mathbells]

F=YSLΔl=kΔl

Dove Y e' il modulo di Young, S la sezione della corda, L e' la lunghezza a riposo.

Mmmm...quindi in sostanza mi stai dicendo che la costante elastica della corda è inversamente proporzionale alla sua lunghezza di riposo? E quindi avrei

\(\displaystyle F_{max}=\sqrt{2mghk}=\sqrt{2mglk}=\sqrt{2mgl\frac{YS}{l}}=\sqrt{2mgYS} \)

Allora tutto torna!

[navigatore]

@mathbells

Quando in teoria dell'elasticità (base della Scienza delle Costruzioni, per capirci) si studiano i casi cosiddetti di "sollecitazione semplice" di De Saint Venant, il primo è la "trazione semplice" .
Detto $E$ il modulo di elasticità (o di Young) del materiale di cui si suppone sia fatta una trave sottoposta a trazione (o un provino, il che è lo stesso) , detta $A$ la sezione iniziale della trave, $L$ la lunghezza iniziale, se detta $F$ la forza applicata, si ha la seguente relazione, valida in campo elastico :

$\Delta L = (F*L)/(E*A) $

LA sollecitazione unitaria di trazione è : $\sigma = F/A$ . La deformazione unitaria è : $\epsilon = (\DeltaL)/L$ . Per cui la legga scritta non è altro che : $ \sigma = \epsilonE $ .

È chiaro che l'allungamento totale si ottiene moltiplicando quello unitario per la lunghezza iniziale : $ \DeltaL = \epsilon*L$ .

Questa storia si ritiene valida anche per i cavi, benché nei cavi intervengano anche altri parametri per stabilire il "modulo di elasticità" : la formazione del cavo, l'avvolgimento, il materiale ecc…Insomma un cavo non è un provino metallico omogeneo.