Shackle ha scritto:Rivedendo i calcoli, giustamente dici che, quando 1<k<2, ad es k = 1.5 , si ha $y” (0)rarr infty$ io mi fermerei qui.
La derivata seconda di y rispetto a x è proporzionale (uguale?) alla curvatura, quindi per k =1.5 la curvatura della curva è infinita nell’origine, e il raggio di curvatura è zero. Mi sembra un punto abbastanza singolare. Invece nel caso della parabola, K=2, la curvatura vale 2.
Caro Shackle non mi deludi mai (non che io ne dubitassi!), hai centrato il problema e forse anche la spiegazione che è la stessa che anch'io mi sono dato.
Ma andiamo con ordine.
Per prima cosa l'equazione che hai pubblicato qualche post più sopra è esatta, e coincide con quella che ho scritto io subito prima di dire "Si vuole indagare soltanto l 'andamento per x molto prossima allo zero".
Questa funzione si integra facilmente per k=2, ma io non sono riuscito a integrarla per k=3/2. Forse non ci ho pensato abbastanza o forse non è proprio integrabile in termini finiti, non so. Se tu vuoi provarci e ci riesci ottieni una benemerenza aggiuntiva.
Siccome però io mi contentavo di indagare per x vicina allo zero, ho approssimato con un artificio che mi ha permesso di utilizzare la regola di de l'Hopital e di integrare così molto più semplicemente.
E' qui che ho scoperto la soluzione "strana" nel caso di k=3/2, cioè:
\[\sqrt{2g}t={{x}^{\frac{1}{4}}}\left( \frac{6}{5}x+4 \right)\]
da cui si vede che il corpo parte ugualmente anche se nel punto iniziale non c'è né forza né velocità iniziale.
Risolvendo invece il sistema nel caso k=2 si vede che il corpo rimane indefinitamente fermo (dettagli nel mio post originario) come è giusto aspettarsi che faccia.
Ora anch'io credo che l'apparente paradosso dipenda dalla non realizzabilità fisica nell'intorno dello zero della curva matematica $y=x^(3/2)$. Questa sembra una curva innocua, ma invece non lo è. Infatti, come anche tu noti, ha derivata prima nulla e derivata seconda infinita sul punto x=0. Che significa? Significa, in parole grossolane, che sullo zero è orizzontale, ma appena ci si sposta di uno spostamento infinitesimo la pendenza non cresce anch'essa di un infinitesimo, come accadrebbe in una curva "normale", ma cresce di un valore piccolissimo ma finito. Infatti solo una discontinuità finita nella derivata prima può dare luogo a una derivata seconda infinita. Cosa significa tutto ciò? Io non riesco a figurarmelo molto bene, si tratta forse di una sottigliezza da matematici. Mi limito a osservare due cose: per prima cosa una curva fisica così fatta non sarebbe fattibile; in secondo luogo il modello matematico può anche andare oltre la realtà discostandosi da essa quando il modello fisico non riesce a seguirlo pari pari. Tu che ne pensi? Ciao.
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.