Solenoide toroidale con spira quadrata concatenata

[Cosmoi]

Ok, anzitutto grazie davvero per la pazienza. Vorrei capire quale è il criterio nella scelta della superficie per il calcolo della corrente di magnetizzazione volumica.
In ogni caso ripetendo i calcoli, ottengo:

\(\displaystyle \overline{M} = {Ni\over 2\pi}(\gamma -{1 \over r}) \hat{\phi} \)

quindi:

\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \hat{z} {1 \over r}( {\partial \over \partial r}(rM_{\phi})) = {1 \over r} [{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi}\gamma r -{Ni \over 2\pi})] \hat{z} = {Ni \over 2\pi r} \gamma \hat{z}\)

Considerando ora la corona circolare di raggio interno \(\displaystyle a \) e raggio esterno \(\displaystyle b \), il cui versore normale \(\displaystyle \hat{n} \) è parallelo all'asse z, otteniamo che:

\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} \hat{z} \hat{n} dS = \int_{S} J_{mv} dS = {Ni \over 2\pi r} \gamma [\pi (b^{2} - a^{2})] \)

\(\displaystyle i_{mv} = {Ni \over 2r} \gamma (b^{2} - a^{2}) \)

[RenzoDF]

Ok per il calcolo della densità di volume, ma sei purtroppo caduto in quel banale errore che ipotizzavo, nella determinazione della corrente di volume.

Controlla quell'integrale; è un tipo di errore che hai già fatto anche in precedenza.

... non ti sei chiesto come può la corrente essere funzione del generico raggio $r$, visto che consideriamo l'intera corona circolare

[RenzoDF]

Se vuoi ti dico dove hai sbagliato, ma credo che avrai più soddisfazione a scoprirlo da solo, no?

[Cosmoi]

No infatti continuo a dimenticarmi di r, ti chiedo scusa veramente. Dovrebbe essere così

\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} dr\int_{0}^{2\pi}J_{mv} d\phi= \int_{a}^{b} 2\pi J_{mv} dr = 2\pi \gamma {Ni \over 2\pi} \int_{a}^{b} {1 \over r} dr = Ni \gamma ln({b \over a}) \)

\(\displaystyle \Rightarrow i_{mv} = Ni \gamma ln({b \over a}) \)

[RenzoDF]

No, non ci siamo ancora.

A cosa è uguale quel dS

[Cosmoi]

Perdonami ma spiegami questa integrazione, che mi sto perdendo a quanto pare in una cosa semplice, ma non sto capendo.

[RenzoDF]

$\text{d} S=2\pir \text{d} r$

[Cosmoi]

Ok, stiamo integrando su questa corona circolare. Quindi:

\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} J_{mv} 2\pi r dr =\int_{a}^{b} {Ni \over 2\pi r} \gamma 2\pi r dr = Ni \gamma (b-a) \)

[RenzoDF]

BTW Sul tuo precedente tentativo avresti dovuto usare

$\text{d}S=text{d}r \ rtext{d}\phi$

[Cosmoi]

Perfetto, ti ringrazio infinitamente davvero, per tutto! Grazie!

Continuando con la risoluzione del punto (c), ossia la determinazione del campo al centro della spira in diversi istanti di tempo, ho qualche dubbio. Sicuramente posso affermare che il campo magnetico totale al centro della spira sarà dato dalla somma del campo magnetico presente internamente al solenoide toroidale e il campo magnetico generato dalla corrente indotta sulla spira quadrata, che presenterà verso opposto al campo magnetico del solenoide. Tralasciando momentaneamente il contributo del campo magnetico del solenoide, per determinare il campo prodotto dalla corrente sulla spira, utilizzerei il seguente metodo: tale campo può essere scomposto in quattro contributi relativi a ciascun lato della spira quadrata. Ho svolto di recente un esercizio simile in cui si richiedeva il calcolo del campo magnetico al centro di una spira quadrata nel vuoto e per determinare tali contributi di ciascun lato della spira si utilizzava la legge di Biot-Savart:

\(\displaystyle \overline{B}(\overline{r}) = {\mu_{0} \over 4\pi} \int_{l'} I {dl' \times \Delta \overline{r} \over \Delta \overline{r}^{3}}\)

Tuttavia nell'esercizio in esame, il campo al centro della spira non è un campo magnetico nel vuoto bensì in un materiale magnetico, con permeabilità magnetica dipendente dalla distanza \(\displaystyle r \) dall'asse del toroide. Non posso quindi utilizzare la legge della magnetostatica nel vuoto (Biot-Savart). Come fare?