Con le notazioni sottostanti:
$Q gt 0$
$A(0,0,-d/2) ^^ Q_A=-Q$
$B(0,0,d/2) ^^ Q_B=Q$
$P(x,y,z)$
per quanto riguarda il potenziale esatto:
$V(x,y,z)=$
$=-1/(4\pi\epsilon_0)Q/sqrt(x^2+y^2+(z+d/2)^2)+1/(4\pi\epsilon_0)Q/sqrt(x^2+y^2+(z-d/2)^2)=$
$=-Q/(4\pi\epsilon_0)[1/sqrt(x^2+y^2+z^2+d^2/4+dz)-1/sqrt(x^2+y^2+z^2+d^2/4-dz)]$
e per quanto riguarda il potenziale approssimato, sviluppando rigorosamente con le note formule e limitandosi al primo ordine:
$d rarr 0$
$V(x,y,z)=$
$=-Q/(4\pi\epsilon_0)[1/sqrt(x^2+y^2+z^2)-1/2z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)d-1/sqrt(x^2+y^2+z^2)-1/2z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)d]=$
$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)z/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)=$
$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)(rcos\theta)/r^3=$
$=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$
Quindi, ammesso e non concesso che io abbia compreso il tuo dubbio, effettivamente:
$lim_(d->0)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=0$
Il fatto è che, per ottenere un limite effettivamente diverso da zero, non solo:
$d rarr 0$
ma anche:
$Q rarr oo$
in modo tale che:
$Q*d=p$
con $p$ costante uguale al modulo del momento di dipolo:
$lim_(d->0)lim_(Q->oo)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=p/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$
Più in generale, la distribuzione di carica associata al momento di dipolo non è una funzione, piuttosto, una distribuzione (un funzionale che agisce su uno spazio di funzioni di prova sufficientemente regolari) che necessita di due passaggi al limite dipendenti tra loro:
$[d rarr 0] ^^ [Q rarr oo] ^^ [Q*d=p]$
Vero è che il medesimo modello matematico si applica, in meccanica, al concetto di forza impulsiva, probabilmente più familiare:
$[\Deltat rarr 0] ^^ [F rarr oo] ^^ [F*\Deltat=I]$
con $I$ costante uguale al modulo dell'impulso.
P.S.
Veramente, non ho capito se intendevi ricavare:
$V(x,y,z)=(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2$
sviluppando rigorosamente, probabilmente no, o se intendevi evitare che:
$lim_(d->0)(Qd)/(4\pi\epsilon_0)cos\theta/r^2=0$