rocchetto moto traslatorio

Messaggioda valesyle92 » 23/07/2012, 09:55

Salve a tutti !!!! Sto facendo degli esercizi ma ho qualche problema con questo qui Immagine
E' necessario che si annulli il momento risultante rispetto a P . QUindi il momento di F rispetto a P si deve annullare e sul libro scrivono che cio' si verifica quanod la retta d'azione di F passa per P ovvero quando vale la seguente relazione geometrica

$R sin theta = r $ !!! $theta$ e' quell' angolo li indicato in figura C?è qualcuno che puo' spiegarmela ?io non l'ho capita!!!
Grazie mille
valesyle92
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Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda navigatore » 23/07/2012, 15:44

valesyle,
il testo si legge male, specie verso la fine. Comunque, tempo fa avevo già risolto un analogo problema, però in esso la forza era orizzontale. Crdo che il tuo collega fosse smaug...
Ad ogni modo, ti metto qui la soluzione, scansita da un libro di esercizi di Meccanica Razionale, dove si contemplano entrambi i casi : a)forza orizzontale; b) forza formante un certo angolo (col piano orizzontale, ma evidentemente il succo non cambia).

Ti consiglio di studiare attentamente prima la soluzione a) , e poi la b).
La condizione per cui il moto avviene senza strisciamento, nel caso b), è rappresentata dall'ultima formula dell'esercizio.

E non mi sembra che sia proprio la stessa cosa che dice il tuo libro...Non ho verificato, ma mi sembra che il libro sia troppo semplicistico, se è vero quello che dici tu. Oddio, potrebbe anche essere che le due soluzioni sono equivalenti, ma allora la massa del rocchetto e il suo momento di inerzia non servirebbero a niente...Ti conviene fare "copia e incolla" dell'allegato e metterlo sul desktop, così puoi ingrandirlo come vuoi. Lo spoiler taglia l'ultima riga della prima pagina.

Se hai dubbi sulla soluzione, chiedi pure.

[NB : Il disegno non esiste più, cancellato da Tinypic.]
Ultima modifica di navigatore il 04/02/2015, 08:51, modificato 1 volta in totale.
navigatore
 

Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda valesyle92 » 26/07/2012, 10:02

Navigatore ho provato a vedere quello che mi hai inviato sul rocchetto....
a me viene da fare cosi : $alpha$ = acc. angolare $ 3/2 MR^2$ = momento d'inerzia rispetto a P ossia al punto d'appoggio

$F cos theta$ = $3/2 MR^2 alpha $

$F cos theta - F_a = M a_x $

$ax = alpha 3/2 M R^2 $

$F sin theta = 0 $


ma pero' non riesco a risolvero...perchè non so sin theta e cos theta ...dove sbaglio ?
valesyle92
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Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda navigatore » 26/07/2012, 21:05

Hai provato innanzitutto a capire la soluzione, nel caso in cui la forza $F$ sia parallela al piano? ( caso a) della soluzione che ti ho scansito).
Vediamo prima questo caso, poi quello più complicato della forza non parallela al piano.

a) La forza $F$ è parallela al piano, che è scabro e quindi esercita una forza di attrito $f$ che si oppone al moto.
Detto $\theta$ un angolo di rotazione del rocchetto, lo spostamento lineare vale : $x = \theta*R$. Quindi la velocità lineare vale : $v=\omega*R$ , e l'accelerazione lineare vale : $a = \alpha*R$, con ovvio significato dei simboli $\omega$ e $\alpha = (d\omega)/(dt)$ = accelerazione angolare.

La 1°eq cardinale della dinamica dice che :
$F-f = M*a = M*\alpha*R$ -----(1)

La 2°eq cardinale, assumendo come polo il centro di istantanea rotazione $C$ che è il punto di contatto col suolo, dice che "il momento delle forze agenti risp al polo causa variazione del momento angolare risp. allo stesso polo" , cioè:

$F(R-r) = \alpha*(I_0+MR^2)$-----(2)

dove al primo membro c'è il momento della forza $F$ rispetto al centro $C$ di istantanea rotazione, al secondo il prodotto dell'accelerazione angolare per il momento di inerzia rispetto sempre a $C$.

Dalla prima ti ricavi $f = F - M*\alpha*R$ . Dalla seconda ti ricavi $\alpha = (F(R-r))/(I_0+MR^2)$, e sostituisci nella prima per ricavare il valore della forza di attrito : $ f = F* (I_0+MRr)/(I_0+MR^2)$ .

Perchè non ci sia slittamento, occorre che questa forza di attrito sia minore o uguale a $\mu*M*g$ .

Perciò, ti puoi ricavare il valore delal forza $F$ max che può essere applicata orizzontalmente, perchè non ci si a slittamento.
Il moto traslatorio del centro del rocchetto avviene in direzione dell'asse $x$ , e il filo si avvolge sul rocchetto, anzichè svolgersi, anche se sembra strano! Tale moto è uniformente accelerato, perchè la forza è costante, con accelerazione $a = \alphaR$ , che puoi ricavare usando la (2), e quindi si ha : $ x= 1/2*a*t^2$ come legge del moto.

Questa è la prima parte dell'esercizio che ti ho linkato, e per ora mi fermo qui, anche se dovrebbe suggerirti come proseguire per la seconda...
navigatore
 

Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda navigatore » 27/07/2012, 00:24

Aggiungo qualcosa, perchè noto uno smarrito silenzio da parte tua...

Per il secondo caso, la forza $vecF$ forma ora un angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Fai un disegno bello grosso, con una circonferenza grande di raggio $R$, che tocca il piano nel centro $C$ di istantanea rotazione, e una circonferenza più piccola di raggio $r$, che rappresenta il cilindro su cui è avvolto il filo. Ora il filo è tangente alla circonferenza di raggio $r$, in un punto $Q$ tale che la sua direzione forma, con la verticale per $Q$, l'angolo $\theta$.
Se chiami $x$ l'asse orizzontale e $y$ quello verticale, hai che la forza $vecF$ si scompone in una componente verticale e una orizzontale, che hanno modulo :
$F_x = Fsen\theta$
$F_y = Fcos\theta$
Queste due componenti hanno momenti diretti in senso opposto rispetto al polo $C$ : occorre determinare esattamente i relativi bracci, perciò ti ho detto di fare un bel disegno grosso!
I due momenti sono : $ Fsen\theta*(R-rsen\theta)$ , e : $ - Fcos\theta(rcos\theta)$ .

Perciò il momento totale rispetto a $C$ è dato dalla loro somma algebrica :

$ M = FRsen\theta - Fr = F(Rsen\theta - r)$ ----(a)

Questo è il momento della forza rispetto al centro di istantanea rotazione, quando la forza $vecF$ è diretta come detto.

Noto il momento, si possono scrivere le stesse equazioni del caso precedente, per la traslazione ( ora la forza che causa la traslazione è solo $F_x$ ) e per la rotazione attorno a $C$ , tenendo appunto presente che il momento delle forze esterne è dato dalla (a). E così si analizza il moto, esattamente come nel caso precedente.

Ora è chiaro che nella (a) il termine in parentesi può essere positivo, nullo, o negativo, a seconda del valore di $\theta$ . Se èì positivo, il rocchetto avanza come quando la forza è orizzontale, cioè il filo si avvolge. Se è negativo, il rocchetto va all'indietro, il filo si svolge. E se è nullo, il rocchetto non ruota, perchè è nullo il momento di forze esterne rispetto al centro di istantanea rotazione, e il momento angolare non varia. Cioè, questa condizione si ha per : $sen\theta = r/R$ .

E se ci pensi un attimo, questo vuol dire appunto che la direzione del filo deve passare per il cento di istantanea rotazione: basta considerare il triangolo di ipotenusa $R$ e cateto $r$ , con angolo $\theta$ opposto al cateto.

La soluzione che ti ho linkato dice che in questo caso "il rocchetto resta in quiete".
navigatore
 

Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda valesyle92 » 27/07/2012, 10:55

Grazie mille Navigatore!!!!! Sei stato davvero stra gentile!!!!!!

navigatore ha scritto:Queste due componenti hanno momenti diretti in senso opposto rispetto al polo C : occorre determinare esattamente i relativi bracci, perciò ti ho detto di fare un bel disegno grosso!

Quindi se ho fatto bene il disegno viene fuori cosi mi dai la conferma? :
Immagine
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Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda navigatore » 27/07/2012, 13:46

Esattamente, Vale. Perfetto.
navigatore
 

Re: rocchetto moto traslatorio

Messaggioda valesyle92 » 27/07/2012, 16:54

Sei un grande ho capito tutto yeesss :) grazieeeee
valesyle92
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