Problema urto di punti materiali

[judoca92]

Salve ho il seguente problemino
Un blocchetto di massa M è fermo su un piano orizzontale scabro e il coefficiente di attrito
statico relativo è µs. Sopra il blocchetto si trova in condizioni di riposo una molla ideale di costante
elastica k avente un estremo saldato al blocco stesso. Un proiettile
di massa m, diretto secondo l’asse della molla, urta con velocità v
l’estremo libero della molla e la comprime. Trascurando l’attrito tra
proiettile e blocco, determinare la massima velocità che può avere
il proiettile affinché il blocchetto resti fermo sul piano.

Il risultato è Vmax=µs(m+M)g*(mk)^-0.5
Ecco uno schema del problema
http://imageshack.us/photo/my-images/82 ... tmapc.png/

Ascpettate un attimo dovevo finire di scriverla perchè avevo poco tempo quando l'ho postata.Cmq ho provato a risolverlo con il teorema del lavoro(Lfc+Lfnc=Kf-Ki)quindi il lavoro delle forze conservative(Lfc),in questo caso solo l'energia potenziale elastica,più il Lavoro della forza d'attrito(Lfnc),che mi ricavo dallo studio della Dinamica è uguale all'energia cinetica finale(che deve essere uguale a quella iniziale perchè non vi è stato urto,almeno cosi ho capito dal problema,emeno quella iniziale.Però se faccio in questo modo,quando mi vado a calcolare il lavoro della forza d'attrito,ho un altra incognita,vero?,che sarebbe lo spostamento effettuato dalla forza d'attrito.Cmq sto provando,dallo studio della dinamica del corpo m,a ricavare la velocità

[speculor]

Ok, c'è il testo, c'è l'immagine, c'è il risultato. Purtroppo, non c'è il tuo tentativo di risoluzione. Hai letto il regolamento?

[Q62ct8vlK6zH]

Buongiorno,
io ho risolto il problema nel modo indicato sull'immagine, ma mi viene leggermente diverso dalla soluzione proposta.

Qualcuno mi può gentilmente aiutare spiegandomi dove sbaglio?

Grazie per la disponibilità.

[sellacollesella]

Il problema coinvolge due soli corpi: un proiettile e un blocchetto. Nello specifico, il proiettile viene frenato dalla forza elastica trasmessa tramite una molla ideale, che in quanto tale è da intendersi priva di massa, quindi non è un corpo. Tutto ciò per sottolineare il fatto che non vi è alcun urto in atto, bensì applicando il teorema del lavoro e dell'energia cinetica al proiettile, ossia uguagliando la somma dei lavori di tutte le forze agenti esternamente al proiettile alla variazione di energia cinetica del proiettile, si ha: \[
-\frac{1}{2}k\,x^2 = \frac{1}{2}m\,0^2-\frac{1}{2}m\,v^2
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad x = \sqrt{\frac{m}{k}}\,v.
\] Quindi, assumendo che in tale circostanza la forza d'attrito statico del blocchetto sia massima, si ha: \[
k\left(\sqrt{\frac{m}{k}}v_{\max}\right) = \mu_s(M+m)g
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad v_{\max} = \frac{\mu_s(M+m)g}{\sqrt{k\,m}}
\] che corrisponde al risultato previsto dagli autori del problema.

[Q62ct8vlK6zH]

Grazie mille per l'aiuto.

Ne approfitto per sottoporre un altro problema che ho svolto, ma che guardando la figura proposta non sono così convinto sia corretto.

Il problema sarebbe.

Si osservi la figura qui sotto che si riferisce alla situazione iniziale. Il corpo di massa m = 10 kg urta elasticamente il corpo di massa M; sapendo che i due corpi sono inizialmente fermi e che la massa m torna indietro raggiungendo un’altezza di 4 cm al di sopra della posizione di equilibrio, si determini la massa M.










Ho allegato anche la mia soluzione, ma non sono sicuro sia corretta.

[sellacollesella]

Applicando il teorema del lavoro e dell'energia cinetica al corpo di massa \(m\): \[
m\,g\,h_0 = \frac{1}{2}\,m\,v_1^2 - \frac{1}{2}\,m\,0^2
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
v_1 = \sqrt{2\,g\,h_0}.
\] Trattandosi di un urto elastico, si conservano quantità di moto ed energia cinetica del sistema di corpi: \[
\begin{cases}
mv_1 = mv_2 + MV_2 \\
\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}MV_2^2
\end{cases}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\begin{cases}
v_2 = \frac{m-M}{m+M}v_1 \\
V_2 = \frac{2m}{m+M}v_1 \\
\end{cases}
\] e affinché il corpo di massa \(m\) torni indietro deve risultare \(v_2<0\), ossia \(M>m\).

Applicando il teorema del lavoro e dell'energia cinetica al corpo di massa \(m\): \[
-m\,g\,h_3 = \frac{1}{2}\,m\,0^2 - \frac{1}{2}\,m\left(\frac{m-M}{m+M}\sqrt{2\,g\,h_0}\right)^2
\] equazione che rimaneggiata porta a: \[
\frac{h_3}{h_0} = \left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
-\sqrt{\frac{h_3}{h_0}} = \frac{m-M}{m+M}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
M = \frac{1+\sqrt{\frac{h_3}{h_0}}}{1-\sqrt{\frac{h_3}{h_0}}}\,m
\] che è quanto richiesto dall'autore del problema.

[Q62ct8vlK6zH]

Grazie per la risposta, ma non riesco a capire da dove provenga il segno - posto davanti alla penultima equazione prima di ottenere M

[sellacollesella]

non riesco a capire da dove provenga il segno -

Fissato \(k > 0\), l'equazione \(x^2=k\) ha soluzioni \(x=-\sqrt{k}\) oppure \(x=+\sqrt{k}\). Dato che in questo caso abbiamo già stabilito essere \(x<0\), allora \(x=-\sqrt{k}\) è la soluzione che fa al caso nostro. Fine.

[Q62ct8vlK6zH]

Grazie per il chiarimento e scusa per la domanda che magari ti può essere parsa banale.

[Faussone]

Grazie per il chiarimento e scusa per la domanda che magari ti può essere parsa banale.

Moderatore: Faussone

Non occorre scusarsi per presunte "domande banali".
Piuttosto ti chiedo cortesemente di usare le immagini con parsimonia e di fare le sforzo di usare le formule offerte tra gli strumenti del forum. Tutto risultala così più leggibile e c'è anche meno rischio che in futuro, non essendo magari più le immagini disponibili (sono infatti su host esterni al forum e dopo un certo periodo più o meno lungo vanno in genere perse), sia reso lo scambio meno comprensibile.