PROBLEMA SEMPLICE CORPO RIGIDO

[cavallipurosangue]

NO, attenzione! Non si può applicare la conservazione dell'energia meccanica... In generale non c'è rotolamento fino al distacco... Si avrebbe rotolamento se:

$F_a/N<=\mu<=1$

Ora siccome la forza di attrito statico necessaria al rotolamento è direttamente proporzionale all'accelerazione, invece la forza normale tende a zero, si ha chge quel rapporto supera facilmente il valore 1, quindi si ha che non ci può essere rotolamento fino al distacco. Si potrebbe comunque sempre utilizzare il principio di conservazione dell'energia, ma considerando anche l'energia dissipata per effetto dell'attrito, ma a quel punto tutto si complicherebbe notevolemente...

[nnsoxke]

In generale è vero , non è detto che ci sia rotolamento esattamente fino al distacco ... Ci sarà un tratto, forse molto breve, in cui la forza che la superficie esercita sulla pallina non sarà in grado di garantire il rotolamento puro ... A voler essere precisi allora si potrebbe applicare la conservazione dell'energia non fino al distacco ma fino al punto in cui la forza tangenziale che agisce sulla pallina è in grado di dare rotolamento puro ( per fare questo bisogna conoscere il coefficiente di attrito statico), poi si potrebbe applicare il teorema delle foze vive fino al distacco (bisogna conoscere il coefficiente di attrito dinamico).
Il risultato nel caso di superficie sferica non credo che sia molto differente da quello che si ottiene dall'utilizzo della sola conservazione dell'energia fino al punto di distacco , però ci potrebbero essere delle superfici in cui il fenomeno dello strisciamento è rilevante.

[cavallipurosangue]

Esatto! era proprio quello che volevo dire! In ogni caso fino ad adesso non ho postato la soluzione perchè non avevo tempo, ma appena lo trovo lo faccio...

[cavallipurosangue]

Allora, prendiamo un sistema di versori normali e tangenti alla semicirconferenza, possiamo allora utilizzare una parte delle equazioni che abbiamo a disposizione:

${(mg\cos\theta-N=m\dot{\theta}^2(R+r)),(mg(R+r)\sin\theta-F_aR=I_1\ddot{\theta}),(mg\sin\theta-F_a=m\ddot{\theta}(R+r)):}

Ricavando $F_a$ dall'ultima e sostituendo poi nella seconda:

$F_a=mg\sin\theta-m\ddot{\theta}(R+r)=>mg(R+r)\sin\theta-mgR\sin\theta+m\ddot{\theta}(R+r)R=I_1\ddot{\theta}=>\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_1-m(R+r)R}$

Per il teorema di Steiner il momento d'inerzia della sfera rispetto al centro della semisfera è uguale al momento d'inerzia della sfera rispetto al suo cdm più la sua massa moltiplicata per la distanza di esso dal centro della semisfera al quadrato. In simboli:

$I_1=I_0+m(R+r)^2$

Quindi si ha:

$\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_0+mRr+mr^2}={mg\sin\theta}/{7/5mr+mR}=mg/k\sin\theta$ dove $k=7/5r+R$

Integrando opportunamente:


$\int_0^{\dot{\theta}}\dot{\theta}d\dot{\theta}=g/k\int_0^{\theta}\sin\thetad\theta=>\dot{\theta}^2=2g/k(1-\cos\theta)$

Sostituendo adesso nella prima equazione:

$N(\theta)=mg(\cos\theta-2(R+r)/k(1-\cos\theta))=mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)$

Imponendo la condizione al distacco $N(\theta_0)=0$ ed essendo $0<\theta<\pi/2$:

$mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)=0=>\theta_0=\text{arccos}({2(R+r)/k}/{1+2(R+r)/k})$

[Eredir]

$\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_0+mRr+mr^2}={mg\sin\theta}/{7/5mr+mR}=mg/k\sin\theta$ dove $k=7/5mr+mR$

Qui si semplifica la massa, altrimenti alla fine non torna dimensionalmente.

Integrando opportunamente:

$\int_0^{\dot{\theta}}\dot{\theta}d\dot{\theta}=g/k\int_0^{\theta}\sin\thetad\theta=>\dot{\theta}^2=2g/k(1-\cos\theta)$

Potresti spiegarmi come hai ottenuto questa identità?

[pepy86]

Per quanto riguarda la prima obiezione credo sia stato un banale errore di scrittura... Ci può stare con tutti quei calcoli...

Per la seconda:

$\ddot{\theta}=f(\theta)=>{d\dot{theta}}/dt=f(\theta)={d\dot{\theta}}/{d\theta}{d\theta}/{dt}=\dot{\theta}{d\dot{\theta}}/{d\theta}=>\dot{\theta}d\dot{\theta}=f(\theta)d\theta$

[Eredir]

Per quanto riguarda la prima obiezione credo sia stato un banale errore di scrittura... Ci può stare con tutti quei calcoli...

Cavallipurosangue è decisamente bravo, si tratta senza dubbio di un errore di scrittura.

Per la seconda:

$\ddot{\theta}=f(\theta)=>{d\dot{theta}}/dt=f(\theta)={d\dot{\theta}}/{d\theta}{d\theta}/{dt}=\dot{\theta}{d\dot{\theta}}/{d\theta}=>\dot{\theta}d\dot{\theta}=f(\theta)d\theta$

Capito, grazie per la risposta.

[cavallipurosangue]

Beh si in effetti ho fatto copia incolla con la formua precedente e non ho tolto la massa... Cmq adesso edito.

Poi si è esattamente quello il ragionamento che ho usato per ricavare quella formula...

[nikko801]

Nel problema io ho considerato puro rotolamento fino al momento del distacco. Non si poteva dunque risolvere in modo più semplice?

$m*alpha^2 (r+R)=m*g*cos (theta max)$
$v=omega*r$
$v=alpha(R+r)$
$omega=alpha (R+r)/r$

$cos (theta max)=alpha^2 (r+R)/g$

dalla conservazione dell'energia meccanica:

$m*g(r+R)=m*g*(r+R)*cos (theta max)+1/2*m*alpha^2*(r+R)^2+2/5*m*r^2*alpha^2*[(R+r)/r]^2$

da questo sistema si ricava $alpha$ e si sostituisce sopra

[cavallipurosangue]

Devo dire che la tua soluzione non mi convince affatto... e poi a dire il vero, per i motivi sopra elencati non credo che l'energia meccanica si conservi.