Sfera lanciata contro un imbuto

[DonkeyShot93]

Salve a tutti. Ho un problema che spero e credo di avere risolto, anche se alla lavagna il mio prof l' aveva risolto in un altro modo un po' più complicato che non capii e non ricordo.

PROBLEMA:
Una particella è lanciata orizzontalmente con velocità $v0$ a distanza $r$ dall'asse sulla parete interna di un imbuto. Trovare quale deve essere la velocità minima affinchè la particella possa passare per un punto dell'imbuto a distanza $2r0$ dall' asse. Le pareti dell' imbuto sono inclineta di $alpha$ sull' orizzontale e non c' è attrito fra la parete interna dell'imbuto.


Se volete metto un' immagine.
Io l'ho risolto semplicemente utilizzando la conservazione dell' energia. Non agiscono forze esterne, eccetto la forza peso. Calcolandomi l' altezza massima che raggiunge la pallina tramite l' angolo applico la conservazione e alla fine $Vmin=sqrt(2grtgalpha)$.
Giusto, no?
Eppure il mio professore aveva usato anche la conservazione del momento angolare. Non si conserva per intero poichè agisce la forza peso, ma si conserva lungo l' asse $z$. Con questa informazione come posso risolvere il problema?
Inoltre non si dovrebbe conservare anche lungo l' asse $x$?

[Faussone]

Non basta la sola conservazione dell'energia, visto che la massa non arriva a raggio $2r_0$ con velocità nulla; la velocità iniziale infatti è orizzontale pertanto la massa descriverà una sorta di spirale "arrampicandosi" lungo il cono, e non avrà mai una velocità nulla.
Serve oltre la conservazione dell'energia anche la conservazione del momento angolare rispetto all'asse del cilindro (a raggio $2r_0$ la velocità sarà ancora orizzontale).
Qui trovi qualche disegno di traiettoria calcolata in maniera numerica, e anche le equazioni del moto con qualche altra considerazione.

[DonkeyShot93]

Grazie 1000. Non ho capito tutta la discussione, ma l' ho trovata comunque utile e interessante (spero un giorno di avere le conoscenze giuste per poter utilizzare quel programma).
Comunque credo di aver risolto il problema.
L' energia si conserva e poiché la pallina continua a ruotare avremo $1/2 mv0^2=mgh+1/2 m omega^2$ con $h=r tanalpha$.
Abbiamo due incognite e una sola equazione. Ce ne serve una seconda, e la prendiamo dalla conservazione del momento angolare, che propriamente non si conserva poichè agisce agiscono la forza peso e la reazione della superficie, ma si conserva lungo l' asse Z rispetto a un qualunque polo O (è come se guardassi l'imbuto dall' alto,giusto?). $mrv0=m2rv$ ricaviamo che la velocità arrivata a quell' altezza si sarà dimezzata. Ora conosciamo anche la velocità angolare $omega=(v0)/4r$. Sostituendo a facendo i conti mi viene $v0=4rsqrt(2gr tan alpha/(16r^2-1))$.
Dici che è giusto? Grazie comunque, soprattutto per non avermi dato subito la soluzione e per avermi lasciato scervellare.

[Faussone]

Il procedimento credo lo hai capito, ma nelle formule che hai scritto c'è un po' di confusione.
Conservazione momento angolare rispetto all'asse:
$mv_0r = m v_c 2 r -> v_c = v_0/2$
Conservazione energia, in cima l'energia cinetica iniziale è convertita in energia potenziale, a parte la quota che serve per garantire la conservazione del momento angolare:
$1/2 mv_0^2 = 1/2 m v_c ^2 + m g Delta h$ con $Delta h = r tg alpha$
da qui sostituisci $v_c = v_0/2$ e risolvi.

[DonkeyShot93]

Giusto! che sbadato!pure la formula...
Grazie ancora di tutto

[Portanza]

Inseriamo adesso una variante. Facciamo un nuovo esercizio dove al posto dell'imbuto abbiamo una semisfera punto proviamo a lanciare orizzontalmente una sfera puntiforme di massa m e velocità orizzontale v0.
Sicuramente posso usare la legge di conservazione dell'energia meccanica e sappiamo che lungo l'asse verticale passante per il centro della sinistra era è il momento angolare si conserva punto ma è l'effetto della forza peso, l'unica a generare un momento rispetto al centro della semisfera dovrebbe forse far oscillare la sfera sul fondo. Non capisco come possa questa massa arrivare all'altezza r massima senza la Sirio di una forza e quindi senza compiere un lavoro. Vi allego il testo e l'immagine. Probabilmente mi sfugge qualcosa del testo. Riuscito ad aiutarmi? Grazie

[anonymous_0b37e9]

Molto probabilmente l'asse della coppa semisferica e i due raggi rappresentati in figura giacciono sullo stesso piano. Si potrebbe interpretare il testo considerando la velocità iniziale parallela al raggio indicato con $r$ e diretta verso l'esterno. In questo modo, la forza impulsiva rappresentata dalla reazione vincolare darebbe un senso al problema.

[Portanza]

Questo è stato un quesito d'esame, ma pare mal posto.
Posso pensare che v0 orizzontale applicato a circa metà altezza faccia arrivare la sfera fino al bordo senza la presenza di una forza esterna che ne alteri il momento perpendicolare all'asse di rotazione?

[anonymous_0b37e9]

Secondo l'interpretazione di cui sopra, mentre la componente $V_0sin\theta_0$ della velocità iniziale lungo il raggio viene annullata dalla reazione vincolare impulsiva, la componente $V_0cos\theta_0$ della velocità iniziale lungo il meridiano consente alla particella di salire lungo il meridiano medesimo. In definitiva, poiché il moto si svolge nel piano contenente l'asse della coppa semisferica e i due raggi rappresentati nella figura, il problema si riduce a quello di un pendolo semplice.

P.S.
La forza che imprime alla particella una componente verticale della velocità è la reazione vincolare impulsiva diretta lungo il raggio esercitata inizialmente dalla coppa semisferica (senza che la particella rimbalzi).