problema puro rotolamento sfera su nastro

[asker993]

Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di fisica sulla dinamica dei corpi rigidi:

Una sfera piena di massa M e raggio R, è posata su un nastro di metallo orizzontale, di spessore e
massa trascurabili, a sua volta appoggiato su un tavolo orizzontale come in figura. La faccia
superiore del nastro è ruvida cosicché l’attrito statico fra il nastro e la sfera è tale che essi non
possano strisciare uno rispetto all’altra. Al contrario la faccia del nastro a contatto con il tavolo e la
superficie di quest’ultimo sono entrambe lisce, cosicché fra nastro e tavolo l’attrito è trascurabile.
La sfera è inizialmente in quiete e il suo punto di contatto con il nastro si trova sull’asse x, che
coincide con l’asse di mezzeria del nastro, a una distanza d da una delle estremità del nastro stesso
(vedi figura). Al tempo to=0 al nastro viene applicata una forza costante che ha solo la componente
Fx. Al tempo incognito t1 >to il nastro si sfila completamente e la sfera procede a contatto diretto
con il tavolo, l’attrito con il quale è completamente trascurabile.



Dunque, dato che l'attrito statico è sufficiente per far si che si crei un moto di puro rotolamento è vero che $a(cm) = alphaR$ dove $alpha$ è l'accelerazione angolare, intuitivamente (probabilmente è quello che mi fa sbagliare) per me la sfera rimane ferma rispetto al sistema di riferimento inerziale del laboratorio tra $t0<t<t1$ (dunque $a(cm)=0$ ma allora salta a livello intuitivo che a vel angolare costante ma non è vero), quello che varia è semplicemente la accelerazione angolare in funzione della forza che io applico al nastro, però, il mio problema è che non trovo questa relazione....cioè, la palla rotola nella direzione opposta a dove applico la forza, di conseguenza l'attrito statico (forza esterna) viene applicato alla base della sfera in direzione concorde con quella della forza $F$...io ho provato a concludere a livello intuitivo che la forza d'attrito è uguale a quella esercitata da $F$ sul nastro...ma non ne sono convinto...o per lo meno non rigorosamente...dunque...voi che dite? Dove sbaglio e come posso trovare la relazione?

Grazie a chi vuol provare ad aiutarmi

[navigatore]

Bisogna andare sempre cauti con questi problemi, perché la fisica elementare può trarre in inganno.
Io ho ragionato in questa maniera.

Devi considerare due riferimenti : il riferimento assoluto del laboratorio, e il riferimento relativo del nastro, che rispetto al laboratorio si muove con una certa accelerazione costante $a$ in una direzione, supponiamo verso destra.

La sfera è inizialmente in quiete, dice il testo. Ma "in quiete" rispetto a quale riferimento? Rispetto all'osservatore evidentemente, cioè rispetto al laboratorio. È implicito che inizialmente sia in quiete anche rispetto al nastro, perché inizialmente è tutto in quiete.

L'attrito statico esiste solo tra nastro e sfera, mentre tra nastro e piano non c'è attrito: quindi il sistema "nastro più sfera" si può considerare isolato, in quanto l'unica forza che il piano può esercitare sul sistema è uguale e contraria al peso $mg$ della sfera: la reazione del piano sul nastro non ha componente tangente al piano.

In tali condizioni, sfilando il nastro con forza costante e quindi accelerazione costante $a$, diretta verso destra (questa è "accelerazione di trascinamento" del nastro rispetto al tavolo) la sfera rispetto al nastro rotola in senso antiorario con accelerazione angolare:

$\alpha = a/R$ -------(1)

e trasla all'indietro, ma sempre rispetto al nastro, non al tavolo.

Vista nel rif. inerziale del tavolo, la sfera non trasla, ruota soltanto. L'accelerazione della sfera relativa al nastro è uguale a $-a$, poiché deve essere $veca_t + veca_r = 0 $ ( l'acc. complementare è nulla).

La forza detta si trasmette per attrito alla sfera, e ha un certo momento rispetto al cdm.

Si può calcolare l'accelerazione angolare con la 2° eq. cardinale della Dinamica :

$F*R = M_e = I\alpha$ ------(2)

prendendo come polo il cdm della sfera. La forza deve essere : $F<=\mumg$.

Nel riferimento del nastro, si ha : $ F = -ma$ -----(3)
(grandezze relative).

Una volta sfilato il nastro, non c'è attrito tra sfera e piano, e quindi la sfera continua a ruotare sul piano liscio, cioè nel riferimento assoluto, con velocità angolare costante, e quindi il momento angolare, che ha acquistato a fine della fase di sfilamento del nastro, rimane anch'esso costante.

Ho fatto un rudimentale esperimento, con un barattolo cilindrico messo su un foglio di carta di stampante, il tutto poggiato su un tavolo abbastanza liscio….non sono le condizioni ideali dell'esercizio, però ho avuto conferma, dopo vari tentativi, che effettivamente il barattolo nella fase di sfilamento del foglio con forza costante acquista velocità angolare crescente e ruota "rimanendo lì…" rispetto al tavolo, più o meno….e poi ruota per un po' con la velocità angolare finale….

Insomma, questo esercizio è del tutto analogo a quest'altro : sul fondo di un autobus in quiete c'è una sfera in quiete. Ad un dato istante l'autobus parte accelerando. Per forza di inerzia la sfera rotola all'indietro.

Spero di non aver detto corbellerie….

[step98]

@navigatore:
Non ho capito perchè nel riferimento del laboratorio la sfera non trasla ma ruota solamente: se c'è una forza d'attrito statico applicata alla sfera, questa forza produce un momento rispetto al Cdm, quindi influenza il moto rotatorio del corpo, ma dovrebbe influenzare anche il moto traslatorio della sfera. Poichè il moto dev'essere di puro rotolamento, il punto di contatto, nel riferimento del nastro, dev'essere fermo, quindi nel riferimento del laboratorio deve avere accelerazione uguale a quella del nastro. Chiamata $ a $ questa accelerazione, io scriverei, nel riferimento del laboratorio:
$ F/m+F*r^2/I=a $, dove F è la forza d'attrito statico, perché l'accelerazione del punto di contatto è la somma dell'accelerazione del centro di massa e dell'accelerazione tangenziale dovuta al moto rotatorio. L'accelerazione della sfera nel riferimento del laboratorio dovrebbe essere quindi $ F/m $ , da cui, sostituendo ad F il valore trovato risolvendo la precedente equazione, si ottiene:
$ (I·a)/(I + m·r^2) $ , che dovrebbe essere l'accelerazione della sfera nel riferimento del laboratorio.
Per applicare invece la relazione $ \alpha = a/R $ bisognerebbe mettersi nel riferimento del nastro, considerando anche la forza apparente che agisce sul centro di massa ed è pari ad $ -m*a $ . Quindi, chiamando $ A $ l'accelerazione del Cdm della sfera nel riferimento del nastro, io scriverei il sistema:
$ { ( F-m*a = m*A ),( F*r=-(I*A)/r ):} $
da cui, risolvendo rispetto ad F ed A, si ottiene:
$ { ( A = -(a*m*r^2)/(I+m*r^2) ),( F = (I*a*m)/(I+m*r^2) ):} $
Il valore di F coincide con quello trovato prima e A risulta negativa (infatti nel riferimento del laboratorio l'accelerazione del centro di massa della sfera dev'essere minore di quella del nastro).
A si può ottenere del resto anche dalla differenza vettoriale tra l'accelerazione del Cdm della sfera nel riferimento del laboratorio e l'accelerazione del nastro.
Dove sbaglio?

[asker993]

grazie mille per la dritta (l'esperimento l'avevo provato anchio )...allora concordi anche te che la forza F si trasmette come forza di attrito...però, solo una cosa, come fai ad esserne così sicuro? Cioè, intuitivamente son daccordo...ma rigorosamente come faresti?

[navigatore]

Ecco ancora qualche considerazione.

Sei mai andato in palestra sul "tapis roulant" ? Insomma la macchina col tappeto che scorre all'indietro mentre tu ci cammini sopra, appoggiandoti leggermente alle maniglie?
SE il tappeto è fermo, tu sei fermo. SE il tappeto scorre a velocità costante, tu cammini a velocità costante. Se il tappeto accelera, tu devi accelerare…
Però tu rispetto alla palestra (riferimento assoluto…) sei fermo.

Metti al tuo posto una ruota di bicicletta, magari reggendo l'asse in due forcelle. Se il tappeto è fermo, la ruota è ferma. Se il tappeto cammina a velocità costante, la ruota non trasla, ma "ruota" con velocità angolare $\omega = v/R$ . Se il tappeto accelera, anche la ruota accelera angolarmente : $(d\omega)/(dt) = 1/R(dv)/(dt)$ .

Ma la ruota non trasla rispetto alla palestra.

Lo so, non è una dimostrazione matematica. Ma per me, la sfera rispetto al piano (riferimento assoluto) rimane ferma. Si comporta come la ruota della bicicletta sul "tapis roulant".

Ora la dimostrazione matematica mi sfugge. Ma ci deve essere. Probabilmente basta considerare la composizione dei moti, relativo e di trascinamento.

[step98]

@navigatore:
Quando sto sul tapis roulant l'attrito statico impedisce che io scivoli sul tappeto e mi spinge avanti dandomi un'accelerazione pari in modulo e opposta in verso a quella del tappeto stesso; nel riferimento della palestra quindi la risultante è nulla. Quando ci metto una ruota di bicicletta l'attrito statico fa sì che il punto di contatto sia fermo rispetto al tappeto, ma secondo me il fatto che la ruota non trasli dipende solo dalla forza che esercito reggendola con le forcelle; se non la reggessi si dovrebbe muovere di moto rototraslatorio nel riferimento della palestra, e questo perchè la forza d'attrito statico influenza anche il moto traslatorio dell'oggetto, e di questo non credo si possa dubitare, perchè altrimenti le vetture non si muoverebbero, perchè alle ruote è applicato solo un momento, perciò se la forza d'attrito statico con la strada non facesse accelerare il centro di massa il moto delle ruote sarebbe solo rotatorio. Tornando al nostro problema, nel riferimento del laboratorio la sfera è sottoposta solo alla forza d'attrito statico, quindi per il secondo principio della dinamica il suo centro di massa non può avere accelerazione nulla.

[navigatore]

@navigatore:
Quando sto sul tapis roulant l'attrito statico impedisce che io scivoli sul tappeto e mi spinge avanti dandomi un'accelerazione pari in modulo e opposta in verso a quella del tappeto stesso; nel riferimento della palestra quindi la risultante è nulla.

Mi sembra giusto. Ne riferimento della palestra, l'accelerazione è nulla.

Quando ci metto una ruota di bicicletta l'attrito statico fa sì che il punto di contatto sia fermo rispetto al tappeto, ma secondo me il fatto che la ruota non trasli dipende solo dalla forza che esercito reggendola con le forcelle; se non la reggessi si dovrebbe muovere di moto rototraslatorio nel riferimento della palestra…..

No, non mi sembra giusto. Il caso è perfettamente analogo a quello di prima! Prima, il pedone sul nastro si guadagna la posizione fissa rispetto alla palestra passo dopo passo. E più corre il nastro, più deve correre lui.
Ora, la ruota pezzetto dopo pezzetto si guadagna la sua posizione fissa rispetto alla palestra.
La ruota gira perché il nastro la fa girare, o con velocità angolare costante o con accelerazione angolare. Rispetto alla palestra, l'accelerazione lineare assoluta è nulla. Tieni presente che il tapis roulant si trova come il nastro dell'esercizio di asker : tra nastro e piano di appoggio non c'è attrito, il piano è liscio. Nel caso del tappeto, questa "mancanza di attrito" è sostituita dal fatto che non c'è contatto tra tappeto e palestra, anzi il moto al tappeto è impresso dal meccanismo che lo fa girare all' indietro.

…..e questo perchè la forza d'attrito statico influenza anche il moto traslatorio dell'oggetto, e di questo non credo si possa dubitare, perchè altrimenti le vetture non si muoverebbero, perchè alle ruote è applicato solo un momento, perciò se la forza d'attrito statico con la strada non facesse accelerare il centro di massa il moto delle ruote sarebbe solo rotatorio.

Questo è vero, alle ruote dell'auto , o della bici, è applicato un momento motore, nella bici i pedali trasmettono il momento motore alla ruota posteriore, che ruota in avanti, e quindi la forza di attrito statico tra ruota e strada può spingere in avanti la bicicletta perché essa stessa è diretta in avanti, è la forza di attrito statico la "forza motrice" che accelera il CM della bici.

Ma normalmente la strada è ferma, rispetto alla Terra! Metti la bici su un nastro o su dei rulli, come talvolta si vede in certe prove sportive : il ciclista pedala pedala, le sue ruote girano in un senso , i rulli in senso opposto, e lui rimane sempre lì rispetto agli osservatori esterni!
Ruota e rulli sono legati dal semplice fatto che nel punto di contatto la velocità relativa è zero. Questo vuol dire, che il centro di istantanea rotazione è istantaneamente fermo.
SE il nastro o i rulli si bloccano di colpo, il ciclista schizza in avanti e si rompe la testa.

Tornando al nostro problema, nel riferimento del laboratorio la sfera è sottoposta solo alla forza d'attrito statico, quindi per il secondo principio della dinamica il suo centro di massa non può avere accelerazione nulla.

Ritengo di no. Nel riferimento del laboratorio, la sfera ha accelerazione assoluta nulla.
Nel riferimento del nastro, ha accelerazione relativa; questa è uguale e contraria alla accelerazione di trascinamento del nastro : $ veca_r + veca_t = 0 $ .

LA forza di attrito statico tra sfera e nastro è una forza "relativa", uguale e contraria alla forza di trascinamento del riferimento, data dal il nastro stesso.

Guarda, io spero di sbagliarmi e di essere corretto da qualcuno che ne sa più di me.

[navigatore]

Esattamente un anno fa, diedi delle risposte in questa discussione, che ora mi sono reso conto essere sbagliate. Mi è venuto a mente quando ho scritto qualche giorno fa questo , e in particolare facendo riferimento all'esercizio messo in questo link .

Quindi ho ritenuto opportuno ritrovare la discussione dove avevo sbagliato, e rettificare : l'esercizio andava svolto come mostrato nel link di cui sopra .

Capita.