forza d'attrito in moto puro rotolamento

Messaggioda asker993 » 04/06/2014, 18:22

Ciao a tutti, oggi mi è venuto un dubbio e non riesco a risolverlo rigorosamente...mi potete aiutare?
Praticamente, se ho un corpo rigido (es. sfera, cilindro) che rotola su un piano scabro (non inclinato) tale che vi è sufficiente attrito tra il corpo e il piano e dunque il moto del corpo è di puro rotolamento...ipotizziamo che il corpo è stato messo in moto inizialmente da un impulso $"J"$ e sta rotolando indefinitivamente con $w$ costante. Adesso, essendo daccordo che il corpo ruota con $w$ costante NON abbiamo variazione del momento angolare rispetto al centro di massa e dunque di $w$ stessa, tale che il momento delle forza rispetto al centro di massa vale $0$...ma la forza d'attrito perchè sparisce? Cioè...siete daccordo con me che è una forza esterna ed è per forza di cose presente durante il moto del corpo? Come fa a "scomparire"? Grazie a chi mi aiuta :)

EDIT: e perchè se vi è applicata un'altra forza esterna al corpo rigido (es. forza di gravità o braccio) allora la forza d'attrito agisce sul corpo? Se mi risolvete questi dubbi mi fate contento :)
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Re: forza d'attrito in moto puro rotolamento

Messaggioda step98 » 04/06/2014, 21:13

Se il corpo è messo in moto da un impulso $ J $ assume una certa velocità iniziale e il suo moto inizialmente è solo traslatorio. La forza di attrito, che in questo caso è dinamico perché il corpo all'inizio striscia sul piano, fa assumere al corpo una certa accelerazione angolare che porta ad un progressivo aumento di $ omega $; tutto ciò avviene finchè il corpo non acquisisce una velocità angolare pari a $ v/r $, dove $ v $ è la velocità del centro di massa. A questo punto il corpo cessa di strisciare sul piano e ha un moto di rotolamento puro, e poichè la velocità del centro di massa del corpo è costante così come lo è quella angolare (non strisciando più il punto di contatto non c'è più attrito dinamico), non c'è bisogno di una forza di attrito statico per mantenere il moto di puro rotolamento. Infatti, se non ci fosse attrito volvente, un corpo in queste condizioni continuerebbe a muoversi all'infinito.
Se invece al corpo è applicata una forza esterna la sua velocità varia, e di conseguenza anche la velocità angolare deve variare per mantenere fermo il punto di contatto; la forza di attrito statico produce il momento necessario per avere questa condizione (momento che ovviamente, quando vai a scrivere le equazioni, devi sommare a quello delle forze esterne agenti sul corpo). Chiaramente l'attrito ha effetto anche sul moto traslatorio del corpo, ed è per questo che non riesco a capire perchè in quest'altro post (viewtopic.php?f=19&t=133300) dici che la sfera rimane ferma nel sistema di riferimento del laboratorio. Questo dovrebbe succedere se la forza di attrito statico fosse tale da dare al centro di massa della sfera la stessa accelerazione del nastro, ma in questo caso il punto di contatto avrebbe già l'accelerazione del nastro, che poi si andrebbe a sommare a quella dovuta al momento della forza di attrito, il che significa che nel sistema di riferimento del nastro il punto di contatto non sarebbe fermo ma avrebbe accelerazione pari alla differenza tra l'accelerazione che ha rispetto al laboratorio e l'accelerazione del nastro.
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Re: forza d'attrito in moto puro rotolamento

Messaggioda navigatore » 04/06/2014, 21:34

Partiamo invece proprio dal disco (o sfera) che è posto su un piano inclinato, e poi arriviamo al piano con inclinazione zero.
Il disco e il piano si suppongono perfettamente rigidi (come di solito in meccanica elementare).

Se il disco e il piano fossero perfettamente lisci, quindi con attrito esattamente nullo, il disco scivolerebbe sul piano inclinato, con moto accelerato da $a = gsen\alpha$, come farebbe un semplice punto materiale, senza ruotare affatto. Cioè traslerebbe solamente, e l'energia potenziale $mgh$ si trasformerebbe tutta in energia cinetica di traslazione.
Sarebbe,ripeto, come un punto materiale che scivola sul piano inclinato, senza attrito : discorso finito.

Ma noi supponiamo invece che il disco non scivoli, bensì rotoli sul piano inclinato (c'è un valore limite dell'inclinazione del piano, legato al valore del coefficiente di attrito statico, che non si deve superare se non si vuole lo scivolamento, ma il rotolamento puro.Superato tale angolo, si ha scivolamento e rotolamento).
Che cosa è che fa rotolare il disco? È l'azione delle forze esercitate dal piano "scabro" sul disco "scabro" . Il piano agisce sul disco con una forza, che ha una componente normale $F_n$ e una componente tangenziale $F_t$, che è la forza di attrito. Siccome per ipotesi non c'è scivolamento, $F_t$ è la forza di attrito statico : nel punto di contatto, centro di istantanea rotazione, non c'è moto relativo tra disco e piano. La $F_t$ può prendere qualunque valore tra $0$ e $\muF_n$. Ma nel rotolamento puro prende il valore necessario per evitare lo scivolamento (ammesso che non sia superiore al massimo, come detto) .
Per risolvere il problema del rotolamento, si possono usare vari procedimenti :
1)equilibrio dei momenti rispetto all'asse di rotazione istantaneo
2)equilibrio dei momenti rispetto all'asse baricentrico
3) conservazione dell'energia (anche se c'è una forza di attrito, questa non compie lavoro)

Nel primo procedimento, l'asse istantaneo passa per il punto P di contatto, perché non c'è scivolamento. Questo punto si muove parallelamente al CM del disco, quindi la 2° eq. cardinale si scrive semplicemente :

$M_P = I_P (d\omega)/(dt)$ -------(1)

dove $M_P = mgRsen\alpha$ è il momento delle forze esterne rispetto al polo P. La forza di reazione del piano ha momento nullo rispetto a P.
Per la condizione di rotolamento puro, il CM del disco ha velocità : $ v_C = \omegaR$. Quindi l'accelerazione lineare del CM vale : $ a_C = R(d\omega)/(dt)$ . Sostituendo nella precedente, si ricava :

$a_C = (mgR^2)/I_Psen\alpha$ ---------(2)

Per il teorema di Huygens, si ha : $ I_P = I_C + mR^2$ , essendo $I_C$ il momento di inerzia baricentrico del disco.

Per cui in definitiva l'accelerazione del CM vale : $ a_C = (gsen\alpha)/(1+ I_C/(mR^2))$ ---------(3)

Questo metodo è rapido, ma non dà informazioni sulla entità della forza di attrito. Per questo, si deve usare il secondo metodo, assumendo come polo il CM. Allora la (1) si scrive con riferimento al CM :

$M_C = I_C (d\omega)/(dt)$--------(4)

adesso risulta : $ M_C = F_tR$ -------(5)

e abbiamo due incognite, l'accelerazione angolare e la forza di attrito. Occorre un'altra relazione, che viene dalla 1° eq. cardinale ( moto del CM) :

$ma_C = mgsen\alpha - F_t$ ------(6)

tenendo sempre presente la condizione di rotolamento puro, per cui : $ a_C = R(d\omega)/(dt)$ , e lavorando un po' sulle equazioni scritte si trova per $a_C$ il risultato (3) già visto. E si trova che la forza di attrito vale :

$F_t = I_C/(I_C + mR^2) *mgsen\alpha$ -------(7)

che deve essere inferiore al valore max consentito $\mu F_n$ per avere rotolamento puro.

Adesso, se l'angolo di inclinazione si annulla , risulta anche : $sen\alpha = 0$ , e quindi si annullano anche l'accelerazione del CM data dalla (3) e la forza di attrito data dalla (7).

Perciò, il corpo rotola su un piano orizzontale con moto rettilineo uniforme, senza essere sottoposto ad alcuna forza di attrito.

Ho fatto tutto questo procedimento, per arrivare matematicamente al risultato che volevi sapere: se dai un colpetto a un disco (o sfera) posto su un piano orizzontale, imprimendogli quindi una certa velocità iniziale ( e quantità di moto e energia, chiaro), il disco, in un caso puramente ideale , può rotolare all'infinito con velocità angolare e quindi velocità di traslazione costante, senza forza di attrito. Questa è servita a imprimere la rotazione (senza slittamento) iniziale, e basta.
Oppure, se il piano inclinato diventa piano orizzontale, supponendo che non ci sia perdita di energia nel breve urto al cambio di direzione, il disco continua a rotolare sul piano orizzontale con l'energia cinetica che aveva quando è arrivato in fondo alla discesa. Questo calcolo energetico non lo faccio.

Ma questo è un caso puramente ideale, come ho sottolineato. L'esperienza ci dice che in realtà il disco sul piano orizzontale si ferma. Succede perché interviene un'altra forma di attrito, detto volvente, dovuto alla deformazione del piano e del disco. E interviene l'attrito con l'aria.
Ultima modifica di navigatore il 10/06/2015, 21:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: forza d'attrito in moto puro rotolamento

Messaggioda asker993 » 05/06/2014, 14:35

ragazzi, siete fantastici :smt023 date delle risposte veramente esaurienti.

Allora, da quello che ho capito la forza esterna dell'attrito statico è quella che serve (in presenza di altre forze esterne che influiscono sulla variazione del momento angolare) a portare la velocità del centro di massa $Vcm$ uguale a quella $wXR$ che sarebbe la condizione di puro rotolamento che NON ci sarebbe in caso che il corpo sia sottoposto solo ad una forza esterna quale la gravità su un piano inclinato dato che la $Vcm != wXR$ e dunque il corpo striscerebbe.
Caso diverso è se fossimo su un piano con inclinazione nulla dato che se rotola con $w$ costante, anche in presenza di un piano con attrito, questo non è più necessario per far rotolare la sfera (c'è ma non c'è in un certo senso...o sbaglio?) dato che sta gia rotolando e implicare l'esistenza dell'attrito implicherebbe che varia l'accelerazione angolare e questo non è possibile...

è corretto quanto ho detto? :)

EDIT: grazie anche per l'introduzione dell'attrito volvente, ora mi è chiaro cosa, apparte l'aria fermi una sfera per esempio nella rotazione :smt023
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Re: forza d'attrito in moto puro rotolamento

Messaggioda navigatore » 05/06/2014, 17:08

asker993 ha scritto: …..è corretto quanto ho detto? ….


Beh, devi rettificare qualcosa…Questo è errato :

…..puro rotolamento che NON ci sarebbe in caso che il corpo sia sottoposto solo ad una forza esterna quale la gravità su un piano inclinato dato che la $Vcm != wXR$ e dunque il corpo striscerebbe.


Se il disco sul piano inclinato scabro è sottoposto solo alla gravità come forza esterna, perché non dovrebbe rotolare? Rotola, come no! Te l'ho dimostrato con le formule proprio nel primo caso : il momento del peso rispetto al centro di rotazione istantaneo fa variare il momento angolare e quindi causa accelerazione angolare. Ma perché sia rotolamento puro, il piano non deve essere più inclinato di un certo angolo, che ti puoi ricavare da solo dalla condizione : $ F_t <=\muF_n$ .

Il disco invece slitterebbe fin da subito, senza ruotare, se l'attrito col piano fosse esattamente nullo.

Questo più o meno va bene :

Caso diverso è se fossimo su un piano con inclinazione nulla dato che se rotola con $w$ costante, anche in presenza di un piano con attrito, questo non è più necessario per far rotolare la sfera (c'è ma non c'è in un certo senso...o sbaglio?) dato che sta gia rotolando e implicare l'esistenza dell'attrito implicherebbe che varia l'accelerazione angolare e questo non è possibile…


Se rotola con $\omega$ costante sul piano orizzontale, (caso ideale!), anche se scabro, vuol dire che non varia il suo momento angolare, quindi non c'è momento di forze esterne. Non c'è forza di attrito, quindi. Quella frase in parentesi non significa…

Se metti in cima a uno stesso piano inclinato una sfera, un cilindro pieno, un cilindro cavo, quale di questi tre corpi arriva prima in fondo ? E la massa, c'entra qualcosa?
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