Si determini:
(a) la minima altezza $h_0$ (rispetto al punto più basso della guida) da cui il corpo deve partire (con velocità nulla) per raggiungere la sommità (punto C) del profilo circolare, senza mai staccarsi da esso;
(b) la reazione $R_B$ della guida quando il corpo si trova nel punto più basso di essa;
(c) la reazione $R_C$ della guida quando il corpo si trova nel punto più alto di essa, assumendo che il corpo parta dalla stessa altezza $h_0$ di cui al punto (a) ma con velocità iniziale $v_0 = 1.2 m/s.$
SOL.:
a)
Poiché agisce la forza peso, che è conservativa, si ha che $E_(m,f)=E_(m,i)$
Inizialmente il corpo è in quiete e possiede solo energia potenziale $E_p= mgh_0$
Quando arriva in $C$ si ha sia energia potenziale $E_p=mg2R $ che energia cinetica $E_k=1/2mv^2$.
$mgh_0=1/2mv^2 + mg2R $
per cui $v^2= 2g(h_0 - 2R)$
Quando il corpo arriva in C il valore minimo della normale (che non può essere negativa) è 0.
Sul corpo agiscono $vec(F_c)=ma_c=vecP + vecN$
Proiettandolo: $-mg - N = -(mv^2)/R$
da cui, imponendo $N=0$ si ha $m(v^2/R-g)=0$, da cui $v^2=Rg$ e, ricordando quanto vale $v^2$ si ha: $2h_0=R+4R$ , trovando così $h_0=(5R)/2$
b)
Tramite la conservazione dell'energia meccanica trovo quanto vale la velocità in B: $mgh_0=1/2mv_b^2$
da cui $v_b^2=5gR$.
Quando il corpo si trova in $B$ su di esso agisce sempre la reazione normale della guida che si somma alla componente normale della forza peso per dare la necessaria forza centripeta.
$vecP+vecN=vecF_n$
Ora qui ho un dubbio:
$-mg + N =mv_0^2/R$
$N=m(v_0^2/R+g)= m(5g+g)=6mg $ e diretta verso l'alto
Purtroppo però ho letto che il risultato è $4mg$ e non $6mg$... per cui non sono sicuro di come ho proiettato le forze lungo l'asse.
c)
Applico sempre la conservazione dell'energia:
$E_(m,i)=1/2mv_0^2 + mg*(5R)/2= 1/2mv_0^2 +5/2mgR$
$E_(m,f)=mg2R + 1/2mv_c^2$
per cui $v_c^2=v_0^2 + gR$
su C agiscono sempre il peso e la normale alla guida: $mg+N=(mv_c^2)/R$
da cui $N=m((v_c^2)/R - g)$ e sostituendo il valore di $v_c^2$: $N=m((v_0^2 + gR)/R -g)= m(v_0)^2/R$.
N è diretta verso il centro della circonferenza di raggio R.
