Piani paralleli con distribuzione di carica volumetrica

[Fra27]

Salve a tutti , vorrei sapere se la risoluzione di questo esercizio è giusta o se c'è qualche errore. L'esercizio è il seguente:

Si abbia una distribuzione di carica volumetrica pari a $-\rho$ tra due piani paralleli posti in $x=-d/2$ ed $x=0$ ,rispettivamente , ed uguale a $+\rho$ tra i due piani in $x=0$ ed $x=d/2$. Determinare il campo elettrico ed il potenziale e.s. in tutto lo spazio.
Si assuma $V(0)=0$. Determinare il moto di un elettrone inizialmente posto in $x=d/4$ e poi lasciato libero di muoversi.

La regola è sempre quella di utilizzare una sup. cilindrica Gaussiana avente asse ortogonale ai piani considerati. L'unica cosa è che in questo caso ci sono 4 piani paralleli aventi all'interno densità volumetrica di segno opposto, in cui due sono adiacenti.
Io ho studiato i due casi singolarmente ( piani con densità $+\rho$ e i restanti con densità $-\rho$) e poi sommato i campi elettrici calcolati. E' corretto il ragionamento?

[Palliit]

Non ho mica capito bene come l'hai impostato, potresti postare i passaggi che hai fatto? Giusto per confronto, a me risulta un campo proporzionale ad $x$ quando: $|x|<d/2" "$ e nullo altrove.

[Fra27]

Non ho mica capito bene come l'hai impostato, potresti postare i passaggi che hai fatto? Giusto per confronto, a me risulta un campo proporzionale ad $x$ quando: $|x|<d/2" "$ e nullo altrove.

Prima studio il caso dei due piani con densità di carica $+\rho$ . Passo quindi al calcolo del campo elettrico all'esterno utilizzando una superficie gaussiana cilindrica $\Sigma$ avente asse ortogonale ai piani e passante per questi ultimi.
in questo caso il flusso lungo la sup. cilindrica sarà dato solo dalla somma dei flussi lungo le due superfici di base (perchè lungo la sup laterale il flusso è nullo). Quindi $\Phi_{\Sigma}(E_{1})= \Phi_{B_{1}}(E_{1})+\Phi_{B_{2}}(E_{1}) = 2 B E_{1}(x)$.
per Gauss $\Phi_{\Sigma}(E_{1})= q/\varepsilon_{0}$.
Ma $q/\varepsilon_{0} = \int_0^{d/2}\rho*dx*B=\rho*B*d/2 $
In conclusione $E_{1}(x)=\rho*d/4*\varepsilon_{0}$

Allo stesso modo per $-d/2<x<0$ dove però il campo ($E_{2}$) sarà uguale ma di verso opposto.
Per calcolare quindi il campo all'esterno dovrò sommare il campo $E_{1}$ con $E_{2}$ dove uscirà zero. E' giusto così?

[Palliit]

E' giusto così?

Secondo me no e in ultima analisi non riesco a capire come calcoli il campo all'interno di ciascuno strato.

Tra l'altro nel mio post precedente ho scritto un'inesattezza, qua:

... un campo proporzionale ad $ x $ ...

.

A me in realtà risulta: $E(x)=rho/epsilon(|x|-d/2)" "$ per $|x|<d/2" "$ (ossia all'interno dei due strati), mentre ovviamente è nullo altrove. Ne segue un potenziale costituito da due archi di parabola per $|x|<d/2" "$ e costante ("costanti"...) altrove.

[Palliit]

Chissà se questo ti aiuta:

in rosso la superficie gaussiana, in nero il grafico del campo elettrico in funzione di $x$.

[Fra27]

non riesco a capire come calcoli il campo all'interno di ciascuno strato..

Non riesco ad utilizzare Geonext, allora allego questo.
Per calcolare il campo $E$ all'esterno, utilizzo una sup. cilindrica passante per entrambi i piani. Mentre per il campo all'interno uso due sup. cilindriche come nel disegno:



Allo stesso modo faccio per gli altri due piani con densità $+\rho$ e sommo tutto.

Come dovrei risolvere quindi?

[Palliit]

Faccio riferimento al mio disegno.

Preso atto del fatto che all'esterno il campo è nullo, col teorema di Gauss sul cilindro tracciato con linea continua (quindi

per $-d/2<x<0" "$, dove la densità è $-rho$) hai:


$Phi"("vec(E)")"=E(x)*S" "$ e $" "Q_("int")=-rho*(d/2+x)*S" "$, da cui: $" "E(x)=rho/epsilon*(-x-d/2)" "$;


riferendosi invece al cilindro con una base all'esterno e l'altra tratteggiata (quindi con $0<x<d/2" "$ e dove la densità vale $+rho$) vale:


$Q_("int")=-rho*d/2*S+rho*x*S" "$ che dà: $" "E(x)=rho/epsilon*(x-d/2)" "$.


Le due scritture si possono compattare in: $E(x)=rho/epsilon*(|x|-d/2)" "$ che corrisponde al grafico del disegno.

Salvo miei errori, ovviamente.


Il potenziale lo trovi integrando opportunamente il campo elettrico ed il moto dell'elettrone lo descrivi con l'equazione

differenziale che risulta dal porre: $" "mddotx=-eE(x)" "$.

[Fra27]

Faccio riferimento al mio disegno.

Preso atto del fatto che all'esterno il campo è nullo, col teorema di Gauss sul cilindro tracciato con linea continua (quindi

per $-d/2<x<0" "$, dove la densità è $-rho$) hai:


$Phi"("vec(E)")"=E(x)*S" "$ e $" "Q_("int")=-rho*(d/2+x)*S" "$, da cui: $" "E(x)=rho/epsilon*(-x-d/2)" "$;

Ma quando calcoli $Phi"("vec(E)")"=E(x)*S$ non devi considerare il flusso di entrambe le basi (quella tra i due piani e quella esterna)?

[Palliit]

All'esterno il campo è nullo ...

[Palliit]

Sei riuscita ad arrivare alla conclusione?