Buonasera ho un problema con queste semplice esercizio preso online:
All'istante t = 0 un punto materiale, partendo da fermo, si mette in moto su una traiettoria circolare, giacente su un piano orizzontale liscio, di raggio R = 225 m. Fino all'istante t1 = 10 s la velocità cresce linearmente con il tempo e lo spazio percorso è di 150 m. Determinare il modulo dell'accelerazione nell'istante t1.
Posto il mio svolgimento:
L'accelerazione è costante quindi prendo in considerazione il moto circolare uniformemente accelerato.
Dico che: \(\displaystyle w_{i} = 0, w_{f} = ? , \theta_{i} = 0, \theta_{f} = 150 m, t_{i} = 0, t_{f} = 10 s\)
\(\displaystyle w_{f} = w_{i} + \alpha(t_{f} - t_{i}) \), essendo \(\displaystyle w_{i} = 0 , t_{i} = 0 \) ho \(\displaystyle w_{f} = \alpha(t_{f}) \)
Poi ho:
\(\displaystyle \theta_{f} = \theta_{i} +w_{i}(t_{f}-t_{i}) + \frac{1}{2}\alpha(t_{f}-t_{i})^{2} \) che diventa, \(\displaystyle \theta_{f} = \frac{1}{2}\alpha(t_{f})^{2} \)
Da questa ultima formula trovo \(\displaystyle \alpha \), ossia: \(\displaystyle \alpha = \frac{2\theta_{f}}{(t_{f})^{2}} \) \(\displaystyle = \frac{2*150}{(10)^{2}} = 3 \frac{rad}{s^{2}} \)
Ora: \(\displaystyle \alpha = \frac{a_{t}}{R} \), che ricavando \(\displaystyle a_{t} \) ottengo \(\displaystyle a_{t} = \alpha * R = 3* 225 = 675 \frac{m}{s^{2}}\)
Adesso trovo \(\displaystyle w_{f} \), \(\displaystyle w_{f} = \alpha * t_{f} = 3*10 = 30 \frac{rad}{s} \)
Dalla teoria so che: \(\displaystyle a_{n} = w_{f}^{2} * R \), quindi, \(\displaystyle a_{n} = (30)^{2} * 225 = 202500 \frac{rad}{s^{2}} \)
Infine, il modulo dell'accelerazione è dato da: \(\displaystyle a = \sqrt{a_{t}^{2} +a_{n}^{2}} = \sqrt{(675)^{2} + (202500)^{2}} = 202501 \frac{m}{s^{2}} \)
Il risultato è sbagliato e non capisco il perchè, penso di aver applicato bene le formule e non trovo cose che non vanno nel ragionamento.
Nella soluzione noto che l'accelerazione tangenziale è: \(\displaystyle a_{t} = 3 \frac{m}{s^{2}} \)
L'accelerazione normale/centripeta è: \(\displaystyle a_{n} = 4 \frac{m}{s^{2}} \)
Il modulo, quindi il, risultato finale , è: \(\displaystyle 5 \frac{m}{s^{2}} \)
Edit: Secondo me c'è qualche errore dimensionale.
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Grazie delle risposte!