Problema esercizio cilindro cavo con distribuzione volumetrica di carica

[AndreaMister]

Ciao ragazzi, ho un problema con questo esercizio, in particolare non capisco quali campi e con quali estremi di integrazione sia necessario effettuare il calcolo del potenziale in r<R

Determinare il campo elettrico E ed il potenziale elettrico generato da un cilindro cavo infinitamente lungo. Il raggio del cilindro è 2R, mentre il raggio del cilindro interno è R. Si assuma che la carica sia distribuita con densità p uniforme solo nella regione di spazio compresa tra cilindro interno di raggio R e quello esterno di raggio 2R.

Il valore del campo elettrico $E(r)$ è:

r<R $E= 0$
R<r<2R $E= ρ(r-R^2/r)/(2ε)$
r> 2R $E= 3ρR^2/(2εr)$

Ora, non capisco però come calcolare il potenziale per $r<R$
Per il secondo e il terzo caso integro tra r e 2R e rispettivi campi $E(R<r<2R)$ ed $E(r>2R)$,
Sul libro il potenziale per il primo caso vale $(pR^2/(4ε))(3-2ln2)$. Qual'è il passaggio con gli integrali dal quale arrivo a questo risultato?

Spero possiate aiutarmi, grazie ragazzi

[mgrau]

Il valore del campo elettrico $E(r)$ è:

r<R $E= 0$
R<r<2R $E= ρ(r-R^2/r)/(2ε)$
r> 2R $E= 3ρR^2/(2εr)$

Ora, non capisco però come calcolare il potenziale per $r<R$
Per il secondo e il terzo caso integro tra r e 2R i rispettivi campi $E(R<r<2R)$ ed $E(r>2R)$,

Nel secondo caso direi che dovresti integrare $E$ fra R e infinito, non fra R e 2R.
Ovvero, una volta che hai trovato ( terzo caso), il potenziale per r = 2R (integrando fra 2R e infinitio), per il caso R < r < 2R, a questo devi SOMMARE l'integrale fra R e 2R (quello che secondo te è, da solo, il potenziale nel secondo caso)
E quando hai trovato la risposta per il secondo caso, conosci il potenziale in R: il potenziale per r < R è costante, e uguale a questo.