Principio di Archimede

[menteContorta]

Chi riesce a dirmi la differenza del principio di Archimede in idrodinamica e idrostatica? Qual è la differenza?? E' una domanda frequente del mio prof ma per me non c'è differenza.

[Shackle]

Consideriamo un fluido reale in movimento. In un punto P , assumiamo un riferimento $xyz$ , e prendiamo un volume (cubetto elementare) $dV = dxdydz$ . Questo volume è soggetto sia a forze di massa che a forze superficiali , dovute cioè agli sforzi applicati sulla superficie del volume dal fluido circostante . Indichiamo con $vecF$ la forza di massa per unità di massa , quindi $\rho\vecF$ è la forza per unità di volume . Le forze superficiali , si possono rappresentare con sforzi unitari $vec\phi_i$ , con $i = (x,y,z)$ , agenti sulle superfici del cubetto , variabili da $vec\phi_i $ a $-(vec\phi_i + (\partial \vec\phi_i)/(\partialx_i)dx_i) $ su due facce contrapposte del cubetto. Naturalmente occorre considerare tutte e sei le facce contrapposte .
Il cubetto elementare obbedisce, nel moto , alla seconda legge della dinamica di Newton:

$d\vecR = dm \vecA$

dove $vecA$ è l'accelerazione e $dvecR$ è la risultante di tutte le forze agenti . Calcolando questa risultante delle forze di massa e delle forze superficiali , l'equazione indefinita della fluidodinamica si scrive in definitiva :

$\rho (vecF -vecA) = (\partial \vec\phi_x)/(\partialx) + (\partial \vec\phi_y)/(\partialy)+(\partial \vec\phi_z)/(\partialz)$

tutti i termini sono forze per unità di volume .

Se il fluido è reale , come accade, gli sforzi unitari superficiali hanno componenti sia normali che tangenziali , a causa dell'attrito viscoso tra le particelle di fluido .

Se il fluido fosse perfetto , non ci sarebbero sforzi tangenziali , e gli sforzi normali si ridurrebbero alla pressione , che in un punto è isotropa ( anche se diversa da punto a punto); cioè gli sforzi tangenziali sono nulli : $\tau_x = \tau_y = \tau_z = 0 $ e :$\sigma_x=\sigma_y = \sigma_z = p $ , per cui l'equazione indefinita del moto di un fluido perfetto (eq. di Eulero) si scrive :

$\rho(vecF- vecA) = \nablap $

Notiamo ora che un fluido, anche reale ma in quiete , si comporta come fluido perfetto, cioè l'assenza di movimento fa in modo che gli sforzi tangenziali sono nulli e quelli normali sono uguali alla pressione isotropa $p$ .

Se il fluido è in quiete , quindi sicuramente $vecA= 0 $ , l' equazione indefinita sopra detta si riduce a :

$\rhovecF = \nablap $

e questa è l'equazione dell'idrostatica , da cui si deduce il principio di Archimede, tenendo conto che $vecF = vecg$.

Ma , nel caso di un fluido reale in moto, anche se $vecA = 0$ , è lecito sostenere che gli sforzi tangenziali sono nulli ? No.
Si può certamente immaginare dei moti in cui gli sforzi tangenziali siano piccoli , quindi trascurabili. Ma in generale non sono nulli, perchè il fluido perfetto non esiste. Basti pensare a quello che succede in prossimità di una superficie a contatto col fluido : c'è uno straterello di fluido che rimane attaccato alle pareti , quindi gli sforzi tangenziali sono presenti, e variano allontanandosi dalla superficie. Lo stato di sforzo globale sulla superficie di un corpo galleggiante (una imbarcazione, per esempio) è alquanto diverso, dal caso puramente statico al caso dinamico .

Solo dichiarando espressamente di ignorare questa diversità , si può affermare che si può estendere il principio di Archimede all' idrodinamica " sic et sempliciter". L'aspetto "reale" del fluido , che causa resistenza al moto, viene preso in considerazione con altri metodi : che cosa ci sarebbero a fare i motori e le eliche , se non per dare all'imbarcazione la spinta propulsiva necessaria per vincere le varie resistenze al moto ?

Comunque la domanda è un po' insidiosa. È chiaro che una nave, o ferma o in moto, ha lo stesso peso $vecP$ , quindi per l'equilibrio alla traslazione verticale la spinta deve essere uguale e contraria : $vecP + vecS = 0 $. Ma nel caso puramente statico la spinta si calcola alla maniera di Archimede. Nel caso del moto, non è proprio del tutto cosi, anche se in realtà si continua ad applicare lo stesso calcolo : volume spostato per la densità dell'acqua. Ma questo si applica a galleggianti "a dislocamento" , cioè che spostano volume di liquido.

Pensa invece,per esempio, ad un aliscafo in moto veloce : la spinta non ha nulla di "idrostatico" , è solo sostentamento idrodinamico, perchè il mezzo viaggia sulle ali , come un aereo. Ma qui si va nel difficile.