[SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda BRN » 11/04/2017, 17:18

Ciao a tutti, sto preparando l'orale di struttura della materia e ci sono un po' di cose che non capisco. Parto con la prima (per le altre aprirò altre discussioni).

Nello studio di un atomo a due elettroni, si studia l'elio. La funzione d'onda totale che lo descrive è:

$ Psi ^A=1/sqrt(2) [Psi _alpha (1)Psi _beta (2)- Psi _beta (1)Psi _alpha (2)] $

una funzione d'onda asimmetrica.
Ma l'elio è un bosone! Non dovrebbe essere descritto da una funzione d'onda simmetrica?

Qualcuno può chiarirmi le idee?

Grazie!
BRN
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda Casio98 » 11/04/2017, 18:16

Secondo me il motivo, ma te lo dico da ignorante dell' argomento, è che comunque stai considerando un sistema fermionico poichè formato da elettroni, e per definizione la funzione d'onda è antisimmetrica per permutazioni e scambi di particelle. Credo che sia il nucleo dell'elio ad essere considerato un bosone, infatti viene usato per lo studio dei superfluidi. Spero di esserti stato d'aiuto.
"Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto". E. De Giorgi
Ale
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda BRN » 11/04/2017, 19:29

Grazie per l'interessamento, però la funzione d'onda totale descrive l'intero atomo, nucleo ed elettroni insieme.

Guardando sull'Alonso, una risposta alla mia domanda c'è. Ma rimango perplesso...
L'Alonso dice: posta una funzione d'onda composta da un contributo spaziale e un contributo di spin

(funzi. d'onda tot.)=(funz. d'onda spaziale)x(funz. d'onda di spin)

per l'atomo di elio si hanno due tipi di funzioni d'onda (simmetrica e antisimmetrica) sia per la componente spaziale, sia per la componente di spin. Quindi, le combinazioni possibili sono quattro che portano allo stato di singoletto e allo stato di tripletto.
E' evidenza sperimentale che se la componente spaziale è simmetrica, allora la relativa componente di spin è antisimmetrica e vice versa. Ne segue che la funzione d'onda totale è antisimmetrica.

Ok, però ho la sensazione che all'esame non mi venga tenuta buona come risposta....

Poi, questa osservazione è generale o vale solo per l'elio?
BRN
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda Light_ » 12/04/2017, 10:34

Ciao !

Prima di rispondere, vorrei sapere che hamiltoniana prendi per il sistema.
Light_
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda BRN » 12/04/2017, 14:40

Mah... direi che l'hamiltoniano è dato dalla somma dei due hamiltoniani del sistema nucleo-elettrone e dell'interazione elettrone-elettrone:

$ H=[-h^2/(2m_e) grad_1^2-(2e)/(4pi epsilon_0|x_1|)]+[-h^2/(2m_e) grad_2^2-(2e)/(4pi epsilon_0|x_2|)]+e^2/(4pi epsilon_0|x_1-x_2|) $
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda Light_ » 12/04/2017, 16:55

Bene.
Quindi hai già fatto la separazione del moto del centro di massa e ti sei messo nell'approssimazione di massa nucleare infinita. A questo punto, risulta che l'equazione da risolvere è appunto :

$ Hpsi(r_1,r_2)=Epsi(r_1,r_2) $

dove $psi(r_1,r_2)$ rappresenta la parte spaziale della funzione d'onda totale a due elettroni.

Considerando che

$ H=-1/2grad_(r_1)^2+1/2grad_(r_2)^2-2(1/r_1+1/r_2)+1/r_12 $

è invariante sotto permutazione dei due elettroni,

sia $ psi(r_1,r_2) $ che $ psi(r_2,r_1) $ soddisferanno

$ Hpsi(r_1,r_2)=Epsi(r_1,r_2) $

Inoltre, dato che queste due funzioni devono essere continue,limitate e a valore singolo,
se $psi(r_1,r_2)$ corrisponde ad un autovalore non degenere, allora $ psi(r_1,r_2) $ e $psi(r_2,r_1)$ differiscono per un fattore moltiplicativo , che si dimostra essere unitario, applicando due volte l'operatore parità. Quindi

$ psi(r_2,r_1)=+-psi(r_2,r_1) $

qui non sto ancora considerando le variabili di spin.
Ho trovato stati spazialmente simmetrici/asimettrici sotto permutazione dei due elettroni .

Data l'indipendenza dell' hamilitoniana dalle variabili di spin, lo stato totale dell' atomo può essere descritto attraverso la sua funzione d'onda spaziale insieme alle componenti di spin in una qualche direzione, per esempio l'asse z.
Seguendo le regole di addizione del momento angolare, gli spin degli elettroni in questo caso, uno trova

$ { ( 1/2ox 1/2=1o+ 0 ),( 2xx 2=3+1 ):} $

cioè i cercati stati di tripletto e singoletto, che saltano fuori dall'addizione degli spin elettronici.
I stati di tripletto sono simmetrici , il singoletto è antisimmetrico.

Ora per il principio di esclusione di Pauli, la funzione d'onda totale di un sistema di elettroni, data appunto dal prodotto della funzione d'onda spaziale e quella spinoriale, deve essere antisimmetrica.
Dunque puoi creare meno stati,facendo questi prodotti, di quanti te ne potevi aspettare a priori.

Storicamente, questo discorso fu fatto al contrario.
Come hai iniziato a dire tu qui
E' evidenza sperimentale che se la componente spaziale è ....

fu proprio l'inesistenza di uno stato fondamentale di tripletto la chiave per arrivare al principio di esclusione di Pauli.

Ho allungato il discorso ma spero di averti chiarito un po le idee,
il punto è che nell' approssimazione in cui ci siamo messi, che è più che ragionevole,
la funzione d'onda che descrive il sistema è elettronica, quindi deve essere antisimmetrica.
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda BRN » 13/04/2017, 15:55

Grazie per la tua risposta e scusa il ritardo per la mia.

Sono ancora un po' confuso...

Credo che mi manchi qualcosa di ciò che sta dietro queste righe

Light_ ha scritto:Ora per il principio di esclusione di Pauli, la funzione d'onda totale di un sistema di elettroni, data appunto dal prodotto della funzione d'onda spaziale e quella spinoriale, deve essere antisimmetrica.


L'elio ha 2 protoni, 2 neutroni e 2 elettroni, che presi singolarmente sono tutti fermioni con parità (-1). Se considero la parità dell'intero atomo, ho che $ P_(He)=1$ che significa che l'elio è un bosone. A tal proposito mi aspetterei che sia descritto da una funzione d'onda simmetrica. Ma così non è.

Il principio di Pauli mi dice che due fermioni non possono occupare lo stesso stato quantico. Questo esce dal fatto che se scrivo la funzione d'onda in forma matriciale con due fermioni con stessi numeri quantici, si annullerebbe il determinante di Slater.
A questo punto, come si pone il principio di Pauli difronte al concetto di parità e quindi di simmetria?
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda Light_ » 14/04/2017, 11:54

Per questo ti ho chiesto di scrivere H.
Arrivati a scriverla in quel modo, uno ha già fatto la separazione del moto del centro di massa e sta considerando il moto relativo degli elettroni, che tra l'altro è la cosa che interessa fisicamente, in assenza di campo esterno.

Tu stai confondendo il significato del termine funzione d'onda totale.
Con il "totale" si intende la parte spaziale presa insieme a quella spinoriale,
le particelle "protagoniste" sono i due elettroni.

Se riprendo la nostra H

$ H=-1/2grad_(r_1)^2+1/2grad_(r_2)^2-2(1/r_1+1/r_2)+1/r_12 $

il primo termine è l'energia cinetica di un elettrone no ? Dov' è quella del nucleo?
Questa è un' hamiltoniana che riguarda il moto relativo degli elettroni rispetto il centro di massa.

Si fa la stessa cosa per gli atomi idrogenoidi.
In questo caso la separazione è un qualcosa di più complicato trattandosi di un problema a 3 corpi.
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Re: [SdM] Atomo di Elio. Bosone o fermione?

Messaggioda BRN » 20/04/2017, 00:01

Hai prorprio ragione! Quel "totale" mi ha mandato in confusione...
Ora tutto mi torna. :)

Grazie delle spiegazioni e spero tu passa avere ancora la pazienza di rispondermi nelle prossime discussioni! ;)

Vado a porre subito un'altra domanda. Ciao!
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