Problema termodinamica

[Maschinna]

Ho un dubbio nella comprensione del seguente problema:
Un cilindro adiabatico di sezione S è chiuso da un pistone adiabatico di massa trascurabile che può scorrere con attrito trascurabile. Il cilindro, che ha l'asse verticale e il pistone che chiude la base superiore, contiene n=4 moli di un gas perfetto biatomico alla temperatura Ta=300K in equilibrio con la pressione esterna p1=10^5 Pa. Ad un certo istante si pone sopra il pistone un sacco di sabbia di massa m=50 kg e si attende che il gas raggiunga lo stato di equilibrio alla temperatura Tb=310 K in cui occupa il volume Vb=19Va/20. Calcolare l'area della sezione del cilindro S.
Mi chiedo perché non sia possibile usare l'equazione
$ (p_1+{mg}/S )(V_a-V_b)=(p_1+{mg}/S )(-V_a / 20)= -c_vn(T_b-T_a) $ per trovare S, ma si deve fare riferimento all'equazione dei gas $ V_b=nRT_b/{p_1+mg/S}=19nRT_a / {20p_1} $ per risolverlo.


Grazie mille

[mgrau]

Cosa intendi con $c_v$ ? Il calore specifico a volume costante? Ma il volume non è costante, no? E la pressione neppure...

[Casio98]

Credo abbia usato il primo principio, con $\deltaQ=0$.

[Maschinna]

Esatto: ho usato il prino principio, tenendo conto che la forza peso è conservativa e che l energia interna è una funzione di stato (per questo il c_v)

[Maschinna]

Forse c entra l energia cinetica del pistone?

[mdonatie]

Io l'ho pensata in questo modo:
Sappiamo che il sistema non scambia calore con l'esterno.
$dS=0$ perciò considero la trasformazione come isoentropica.
$d\hatS=((\partial\hatS)/(\partialT))_p dT + ((\partial\hatS)/(\partialp))_T dp = c_pd(lnT) - ((\partial\hatV)/(\partialT))_p dp$
poiché si tratta di un gas perfetto: $\hatV=(RT)/p$ quindi $((\partial\hatV)/(\partialT))_p=R/p$
Perciò l'equazione differenziale si riduce all'equazione:
$c_p\int_(lnT_1)^(lnT_2)d(lnT) = R\int_(lnp_1)^(lnp_2) d(lnp)$ nell'ipotesi che il $cp(T)$ vari così poco da potersi ritenere costante.
Per i gas perfetti vale la relazione di Mayer: $R=c_p-c_v$ allora possiamo ricondurre tutto all'espressione:
$(T_2/T_1)^(c_p/(c_p-c_v))=p_2/p_1$ sapendo che il rapporto fra $c_p/c_v = \gamma$ allora $(T_2/T_1)^(\gamma/(\gamma-1))=p_2/p_1$
dove la costante adiabatica per gas ideali biatomici è $\gamma=7/5$
Da questa relazione puoi determinare $p_2$ ovvero la pressione che si instaura quando un sistema adiabatico si porta alla $T_2$.
La $p_2$ è dovuta, oltre alla pressione esterna anche dalla pressione esercitata dal sacco di sabbia.
Per questo ipotizziamo che il sacco di sabbia si disponga su tutta la superficie del pistone.
Quindi $p_2=p_1+(mg)/A$
Allora potremmo riscrivere l'equazione come $(T_2/T_1)^(\gamma/(\gamma -1))=1+(mg)/(p_1A)$ allora
$A=((T_2/T_1)^(\gamma/(\gamma -1))-1)^-1(mg)/p_1=0.04m^2$