Vulplasir ha scritto:Pare che tu abbia scoperto l'esistenza dei campi di forze conservativi
Comunque c'è del giusto e del sbagliato in quel che dici. E' possibile parlare di posizione per un punto materiale anche a priori, ma non è possibile parlare di velocità, la velocità di un punto è indeterminata perché è funzione del moto della particella stessa, per parlare di velocità devi risolvere l'equazione del moto $vecF=mveca$ che è un sistema di 3 equazioni differenziali, e in genere non è per niente facilmente risolvibile. Quello di cui parli, sono le velocità iniziali e finali di un certo moto di una particella di cui conosci la posizione finale e quella iniziale soggetta solo a un campo di forze conservative, grazie al teorema dell'energia cinetica e grazie alla conservatività del campo, puoi dire $1/2mv^2(a)-1/2mv^2(b)=phi(a)-phi(b)$. Se $a=b$, puoi quindi dire che il punto parte e ritorna con la stessa velocità in modulo, ma la variabile temporale non ce la puoi mettere in nessun modo, perché per parlare di tempo devi risolvere l'equazione del moto, mentre pui solo dire che, se un punto materiale parte da un punto dello spazio soggetto a forze conservative, e vi ritorna, allora la sua energia cinetica non può essere variata.
L'esempio di mgrau penso sia sbagliato perché qui si parla di moti generati solo dalla forza conservativa in esame, un moto quadrato come quello non può in alcun modo essere causato solo da quelle forze verticali, e chiaramente l'energia cinetica varia perché un corpo esterno ha fatto lavoro per traslarlo orizzontalmente. p.s. si in effetti quel campo non è conservativo perché presenta una discontinuità.
Perdonami, ma dove, nella dimostrazione che ho fatto, sfrutto l'ipotesi che il campo di cui parlo sia conservativo?
Credo da nessuna parte.
E onestamente non capisco molto bene il tuo discorso, mi basterebbe che mi facessi notare in quale dei miei passaggi c'è un errore...è tutta matematica d'altronde.
Facciamola più semplice: io so che il teorema dell'energia cinetica (che vale
per tutti i campi) mi dice che $1/2mv^2(a)-1/2mv^2(b)=L_{ab}$, dove $L$ è il lavoro da $a$ a $b$. Perfetto, ma cosa sono $v^2(a)$ e $v^2(b)$? Penso mi risponderesti "sono i moduli (al quadrato) della velocità della particella quando si trova nel punto $a$ e nel punto $b$ rispettivamente". Giusto? Bene, se $P$ passa per $a$ e $b$ una sola volta allora non c'è ambiguità, esiste un solo possibile valore per $v(a)$ e un solo possibile valore per $v(b)$. Il problema sorge se $P$ passa per $a$ (o per $b$) più di una volta, perché in quel caso
potrebbe darsi che
almeno il modulo della velocità cambi ogni volta che $P$ passa per $a$! Tuttavia,
sembra che sia possibile dimostrare che
almeno il modulo, appunto, della velocità sia sempre lo stesso ogni volta che $P$ passa per $a$ (o $b$)
qualora le forze del campo siano le uniche ad agire sul P. La domanda è, dunque, la dimostrazione che ho fatto è corretta o no? Qual è l'errore? E soprattutto, se c'è un errore, allora che significano $v^2(a)$ e $v^2(b)$?